相似図形の難問の解き方

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）

　上図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、弧ＡＢ＝弧ＣＤである。
また、線分ＣＥと線分ＢＤの交点をＦ、線分ＣＥと線分ＡＤの交点をＧとし、線分ＤＥ上にＢＤ//ＧＨとなる点Ｈをとる。
ＥＧ＝ＧＦ，ＧＨ＝３のとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。

（注意）
　この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。

（解けるまで解答を見ない理由）
　出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。

　そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。

　そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。

（解答の方針） 
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
　そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）図形の難問は、図形を完成させてから解く。
（３）相似図形があったら、その相似図形の辺の関係式を全て書いて、その式を自分で見て考えられるようにする。

　そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問２】に変換して解きます。

【問２】

点Ｂ，Ｃ，Ｆを一点にする。そしてＣＥを円の直径にする。
ＡＢ＝ＣＤなので線分ＡＤはＣＥに垂直である。
また、ＦＧ＝ＧＥにするために、線分ＡＤは円の中心を通る直径にする。
このときｘを求めよ。

【解答】
図からｘの値がすぐわかる。

 （解答おわり）

【問１】（難問）
　解答がわかったので、その解答を、問１で導く。

 ＥＧの長さを求めよ。

【解答】

　以下のように、問題の条件を上図に書き込む。

更に補助線を加えて、同じ円周角を書きこんで図形を完成させる。

　完成させた図形を見ると、３頂角が等しいので三角形ＥＧＤと三角形ＧＨＤが相似だとわかる。
　２つの図形が相似だと分かったら、相似な図形の辺の関係の式を全部記載して、自分が式を見て考えられるようにする。

上の式は、以下の式１と式２の連立方程式を含んでいる。

連立方程式を解いたら解答が得られた。
（解答おわり）

【別解】
この問題の以下の相似図形を見つけて解答することもできる。

 
（解答おわり）

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