三角形の３頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】

上図の三角形ＡＢＣ内の点Ｘから頂点Ａ，Ｂ，Ｃに引いたベクトルａ，ｂ，ｃの間に式１の関係が成り立つ場合に、
そのベクトルの張る三角形の面積の間に式２の関係が成り立つことを証明せよ。

  【証明（その１）】

上図の様に、ベクトルｃに垂直なベクトルｃ_ｖを考えて、
ベクトルｃ_ｖ方向の、式１を満足するベクトルａとｂの成分の大きさの比を考えると、
三角形の面積の比がわかり、式３の関係が成り立つ。

上図の様に、ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_ｖを考えて、
ベクトルｂ_ｖ方向の、式１を満足するベクトルａとｃの成分の大きさの比を考えると、
三角形の面積の比がわかり、式４の関係が成り立つ。
 
式３と式４を合わせると式５が成り立つ。
この式５は求める式２と同じ式である。
（証明１おわり）

【証明（その２）】
考え方は上の証明と同じですが、
ベクトルａ，ｂ，ｃを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ，ｂ_ｖ，ｃ_ｖを使って、

以下のように三角形の面積を計算して証明することもできます。

式１により、式９のベクトルｂを変換する。

次に、式１により、式１０のベクトルｃを変換する。

式１４と式１７を合わせると式１８が成り立つ。

この式１８は求める式２と同じ式である。
（証明２おわり）

【証明（その３）】
ベクトルＺの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。

この式から、以下の式がなりたつ。

（証明３おわり）


（補足）
　２つのベクトルａとｂの張る三角形の面積を考える問題には以下の特徴があります。
　ベクトルの内積で面積をあらわすためには、どうしてもベクトルａを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂを９０度回転させたベクトルｂ_ｖを考えて、内積
ａ_ｖ ・ｂ＝－ｂ_ｖ ・ａ
の２分の１で三角形の面積をあらわす事が望ましいです。
　ベクトルの内積演算には、三角形の面積をあらわすことが不得意だという弱点があります。
　その弱点を補うために、与えられたベクトルａやｂに加えて、それらを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加して計算に用います。その新たに加えたベクトルを使った内積の計算によって三角形の面積があらわせるのです。
　 そうしないで、すなわち、ベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加しないで、無理やりに三角形の面積を表わそうとすると計算が難しくなります。

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