勉強しよう数学解答集: ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】以下の図で直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値を求め、その場合の交点Ｈの座標を求めよ。

【解１】
　空間直線の交点を求める問題は、いきなり２直線のベクトル方程式を立て、それを無理やり解くのは、計算の見通しが良くないので止めましょう。
　空間直線の交点を求める問題を解く場合は、先ず、交差する２直線が乗る平面の法線ベクトルを計算しましょう。
　そして、直線をその法線ベクトルに直交させる条件を求めることで、その２直線が交点を持つ条件を確定させて計算することが大切です。
　この法線ベクトルは、平面上のベクトルの外積を計算して求めます。
　先ず、以下のようにして、面ＯＢＣの法線ベクトルＶを計算します。

　次に、この法線ベクトルＶにベクトルＧが直交する条件を求めます。法線ベクトルＶにベクトルＧが直交するなら、直線ＯＧは面ＯＢＣ上にあり、直線ＢＣと交わります。

これで、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルＧの式に代入してベクトルＧを定めます。

ベクトルＧも定まったので、以下のようにベクトル方程式を立てて交点Ｈを求めます。
　その際に、空間ベクトルをＹＺ平面に射影して、その射影を見て計算します。
（その理由）
　同一平面上にある空間直線同士の交点を求める方程式は２つで十分であり、３次元ベクトルの計算で出てくる３つの方程式では方程式が１つ余分だから、射影を利用して、その余分な方程式を減らすためです。

（解１おわり）

【解２】
　面ＯＢＣを水平面であると考え、点Ｇの水平面ＯＢＣ上の高さを０にする条件を求めて、解を得ることにします。
（面ＯＢＣを水平面と考えて計算するので、計算の見通しの立て方が解１と同様です。）
　点ＧをベクトルＢＣの方向に移動しても、その点の水平面ＯＢＣに対する高さは変わりません。そのため、先ず、ベクトルＯＢからベクトルＢＣの所定倍数のクトルを引き算して、水平面ＯＢＣからの高さが同じベクトルを計算します。この計算では、ベクトルのｙ成分が０になるベクトルを残すようにします。

次に、そのベクトルから、ベクトルＯＣの所定倍数のクトルを引き算して、水平面ＯＢＣからの高さが同じベクトルを計算します。この計算では、ベクトルのｚ成分も０になるベクトルを残すようにします。

このベクトルの、水平面ＯＢＣからの高さが０になる条件は、このベクトルが０ベクトルになることです。その条件は、残ったベクトルのｘ成分が０になることであって、以下の計算で求められます。

このあとの計算は、解１と同じ計算をします。
（解２おわり）

　ここで、賢明な読者は気付かれたと思いますが、ベクトルOＧを平面OＢＣ上に定めた時点で、もうベクトル方程式を使わないでも交点Ｈの答えが得られるようになっています。
　すなわち、この問題では、直線ＢＣはＺ＝１の平面上にありますから、ベクトルOＧのＺ座標が１になるようにベクトルOＧを９倍すれば、交点Ｈの位置ベクトルが得られます。
　見通しの良い計算をすれば、単純な問題はこのように単純に解けるようになり、計算時間を節約できる効果があります。

【解３】
　解３は、ベクトルの外積を用いない解き方ですが、以下のように解くこともできます。

　先ず、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合は、ベクトルＢＣとベクトルＯＧとそして、ベクトルＯＢが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。

ベクトルＢＣとベクトルＯＧとベクトルＯＢは以下の式であらわせます。