方程式の実数解の個数の問題

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題１】
以下の方程式が異なる実数解を２つだけ持つような定数ａの値の範囲を求めよ。

【解答１】（定数分離で解く）
式１を以下の様に変形する。

式２の様に、定数ａを表す関数f(x)の式を求める。
この関数f(x)のグラフの形を調べる。

以上の結果から、関数f(x)の形を表す増減表を書く。

この増減表から、関数f(x)=aの方程式が異なる実数解を２つだけ持つ定数ａの値の範囲は、以下の式であらわせる。

（解答１おわり）

【解答２】
定数分離法を使わないで解くと、例えば、以下の様に解くことになります。

異なる実数解を２つだけ持つには：
(A) a>0 の場合は、
グラフがいったんｘ軸に接する形になる場合に限る。
(B)a<0の場合は、
グラフの傾きが０になるｘ＝βの点で、g(β)<0となる場合に限る。
(C)a=0 の場合は、

となるので、異なる実数解を２つ持つ。　（解１）

g(x)のグラフが上に凸か下に凸か、凹凸混在かを調べるため、g(x)を２度微分する。

(B) a<0の場合は：
g''(x)>0
になるので、
g(x)のグラフが下に凸になる。

(A) a>0の場合は：
ｘが十分小さいときは、
g''(x)>0 になるので、グラフが下に凸。
ｘが十分大きいときは、
g''(x)<0 になるので、グラフが上に凸。

以下で、aの各場合を考察する。

  (B) a<0 の場合：
g(x)の最小値は、

となる点x=βである。
その点ｘ=βで、

が成り立つならば、
異なる実数の解を２つだけ持つ。
(4)を(5)に代入：

式７と式４を連立することで解が得られる。
a<0なので、式４より、

式７と式８より、

で、

g'(β)のグラフの形を調べる。a<0なので、

式９により、g'(β)のグラフの傾きが正であるので、
g'(β)が、

の範囲に解を持つためには、

が成り立つことが必要である。
a<0なので、式１１は成り立っている。
式１０から、

となる。
この式１２は、式４と式７を成り立たせる必要条件である。
逆に、式１２が成り立てば、式１０と式１１が成り立つので式７が成り立ち、式４が成り立つので、式１２は、式４と式７を成り立たせる必要十分条件である。
よって、式１２は、解の１つである。（解２）

 (A) a>0 の場合：

であり、また、
ｘが十分小さいときは、グラフが下に凸であり、
ｘが十分大きいときは、グラフが上に凸であり、
そして、

である。
そのため、

との、式１３と式１４が同時に成り立つxの値の点で、
グラフの凸部分がｘ軸に接することになり、
関数g(x)が異なる実数の解を２つだけ持つ。

(A1) ｘ＝１の場合：
式１４により、

（解３）

(A2) ｘ＝－２の場合：
式１４により、

この式は、ａ＞０の場合に成り立たないので不適。

以上の、解１、解２、解３を合わせて、

（解答２おわり）

解答１と解答２を比べてみると、
この種の問題は定数分離で解く方が良いと分かると思います。

リンク：
高校数学の目次