不定方程式の解き方

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

（補足）
一次不定方程式の正しい解き方は、ここをクリックした先のサイトにあるように：
１．先ず整数解を１つ求める。
２．もとの方程式と引き算する。
３．一般解を求める。
という計算方法が一番すぐれた解法だと考えます。

【問１】

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答１】
　以下の様に式を書いて、数値をユークリッドの互除法で引き算して行き、最初の数値を文字ａとｂで表して、ユークリッドの互除法の計算式をａとｂの式で表す。

以上の計算で１つの解の式２が得られた。
この１つの解の式２を、元の式１から引き算する。
(1)－(2)

この式３を満足する一般解は、整数ｍを導入して以下の式であらわせる。

この式を整理する。

（解答１おわり）

【解答２】
　以下の解き方の方が覚え易いかもしれない。

式１が求める式である。
先ず、以下の式E７と式E８が成り立つことが分かる。

以上の計算で、解答１と同じく、１つの解の式２が得られた。
次に、この１つの解の式２を、元の式１から引き算します。
(1)－(2)

この式３を満足する一般解を、整数ｍを導入して以下の式であらわす。

この式を整理する。

（解答２おわり）

【問２】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答】
先ずは、１９で割り切れるかを確認する。
２４３２／１９＝１２８，
７０３／１９＝３７，
割り切れたので、式１を以下の式２に変形する。

次に、ユークリッドの互除法に近い以下の方法で式の計算をして解の１つを求める。

以上の計算で１つの解の式７が得られた。
この１つの解の式７を、元の式１から引き算する。

この式８を満足する一般解を、整数ｍを導入して以下の式であらわす。

この式を整理する。

 （解答おわり）

【問３】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答】
ｕを予め与えられた整数と考えて、
式１の不定方程式の解を１つだけ求める。

この１つの解の式２を式１から引き算する。

この式の引き算をすると、不定方程式の変数の数が減った。
この不定方程式６の一般解を、整数ｍを導入して求める。

この式７と８を式４と５に代入して整理する。

（解答おわり）

【問４】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答１】
以下の様に、順次に解を求めていく。
先ず、以下の様にして、ｘとｙの解のバラエティを与える整数ｍの式を求めます。

次に、以下の様にして、ｘとｙとｕの解のバラエティを与える整数ｓの式を１つ求めます。

（この解は解の全てでは無いが、これで良いです）
これに、整数ｍの式を加えます。

（解答１おわり）

【解答２】

次に、この不定方程式の解を１つだけ求めます。

次に、この１つの解の式を、元の式１から引き算します。 

この式の引き算をすると、不定方程式の変数の数が減りました。
次に、この（ｘ－ｓ）と（ｙ＋ｓ）との不定方程式を解きます。

この解と式２とで解があらわせます。

（解答２おわり）

この解答２は、不定方程式の１つの解の式３だけ求めて、それが、全体の解を求める鍵になっています。解答２では、１つの解の式３だけ求めれば良い事の理由が明確に分かるので優れた解き方です。

【問５】
以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答１】 
先ず、不定方程式１の１つの解を求める。

（この解の式２は解の全てでは無いが、これで良いです）
 
（A)次に、以下の様にして、ｘとｙの解のバラエティを与える整数ｍの式を求めます。
　先ず、以下の整数ａとｂの不定方程式を解きます。

（B)次に、以下の様にして、ｘとｙとｚの解のバラエティを与える整数ｓの式を１つ求める。
　すなわち、以下の整数ｃとｄとｅの不定方程式の解の１つを求める。

ここで、整数ｓに比例する以下の解があります。
（この解は解の全てでは無いが、これで良いです） 

（解答１おわり）

【解答２】
以下の様に解く方法の方が、解答１よりも優れています。

先ず、不定方程式１の解を１つだけ求める。

この１つの解の式２を式１から引き算する。

次に、この不定方程式６の解を１つだけ求めます。

整数ｓを導入して、１つの解を求めました。
次に、この１つの解の式９を式８から引き算します。

この式の引き算をすると、不定方程式の変数の数が減った。
この不定方程式１０を、整数ｍを導入して解く。

以上で得た解を以下で整理する。

（解答２おわり）

この解答２は、不定方程式の１つの解の式２や１つの解の式９だけを求めることが、全体の解を求める鍵になっていること、の理由が明確に分かるので、優れた解き方です。

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