以下は、ここをクリックした先のページの問３から問７の解答です。
【問３】
（各人を区別できる）６人を、A組とB組とC組に、３人と、２人と、１人に分ける、ただし、各組に３人か２人か１人かを自由に割り当てた、あらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問３の解答】
（１）
３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作る。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人を１組に割り当て、次に残った３人のうち２人を２組に割り当て、最後に残った１人を３組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りである。
（２）
１組と２組と３組をＡ組とＢ組とＣ組に、あらゆる組み合わせで対応させる組み合わせの数は３！である。
（３）
A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、
（３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作るあらゆる組み合わせの数）×（１組と２組と３組を、Ａ組とＢ組とＣ組に対応させるあらゆる組み合わせの数）
である。その数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）×（３！），
通りである。
（問３の解答おわり）
【問４】
６人を、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる組み合わせの数は何通りあるか。
【問４の解答】
（１）
A組に３人割り当て、B組に２人割り当て、C組に１人割り当てる。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人をA組に割り当て、次に残った３人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った１人をC組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りである。
（問４の解答おわり）
【問５】
６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問５の解答】
（１）
A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、【問３】の通り、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）×（３！），
通りである。
（２）
３人と２人と１人の３組を、A組とB組とC組に対応付けるあらゆる組み合わせの数は、３！組ある。
（３）
６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３組を、A組とB組とC組に対応付ける組み合わせの数）
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）
（問５の解答おわり）
【問６】
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問６の解答】
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、先ず、６人のうち２人をA組に割り当て、次に残った４人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った２人をC組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りである。
（問６の解答おわり）
【問７】
６人を、各組２人の（区別が無い）３組に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問７の解答】
（１）
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、【問６】の通り、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りである。
（２）
各２人の（名前の区別が無い）３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるあらゆるバラエティの数、言い換えると、「A組とB組とC組への組分けを種にして、組の名前を付け替えて得られる組分けのバラエティの数」は、３！＝６ある。
（３）
６人を、各組２人の３組に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（名前の区別が無い３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるバラエティの数）
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２）／（３！），
通りである。
（問７の解答おわり）
《組み合わせの構造の対称性》
（事例１）
【問６】の、（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分ける組み合わせ）の組分けの数は、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りあります。
その組分けでは、
A組 B組 C組
[人1,人2] [人3,人4] [人5,人6], （組分け１）
という組分けと、
[人5,人6] [人3,人4] [人1,人2], （組分け２）
という組分けがあります。
この、２人ずつ３つに分ける組分けには、その３つの組の人数がどれも同じ数であるという対称性があります。
そのため、【問７】で、A組とB組とC組の区別を無くすと、
この組分け１と組分け２は同じ組み分けになって重複します。
このように、A組とB組とC組の区別を無くすと、その対称性のために同じ組分けになって重複する組分けが発生します。そのため、その対称性のバラエティの３！で割り算して重複を無くした組分けの数を数える必要がありました。
（事例２）
一方で、【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を割り当てる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りあります。
その組分けでは、
A組 B組 C組
[人1,人2,人3] [人4,人5] [人6],
という組分けがある。
この、各組の人数が異なる人数が固定された組み分けでは、３つの組の人数がどれも異なって、人数の対称性がありません。
そのため、【問５】で組の区別を無くしても、重複する組分けは発生しません。すなわち、事例２の場合から、Ａ，Ｂ，Ｃという組の区別を無くても、組分けの数が変りませんでした。
（事例３）
【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りあります。
しかし、その組分けでは、A組とB組とC組の人数に偏りがあります。Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせではありませんでした。
Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせは、【問３】の場合の組み分けでした。その【問３】の組み分けに、各組の区別を無くしたのが【問５】の組み分けでした。
その【問３】の組み分けでＡ組とＢ組とＣ組を置き換えた組み分けは、【問５】では同じ組み分けになって重複する組分けになります。
すなわち、組の置き換えに関して対称な組み分けである、組の区別が無い組み分けの数は、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数になりました。
この関係は普遍的な関係であって、【問６】と【問７】の間でも成り立っていました。すなわち、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けを含む【問６】の組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数が、各組の区別を無くした【問７】の組み分けの数になる関係が成り立っていました。
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【問３】
（各人を区別できる）６人を、A組とB組とC組に、３人と、２人と、１人に分ける、ただし、各組に３人か２人か１人かを自由に割り当てた、あらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問３の解答】
（１）
３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作る。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人を１組に割り当て、次に残った３人のうち２人を２組に割り当て、最後に残った１人を３組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りである。
（２）
１組と２組と３組をＡ組とＢ組とＣ組に、あらゆる組み合わせで対応させる組み合わせの数は３！である。
（３）
A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、
（３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作るあらゆる組み合わせの数）×（１組と２組と３組を、Ａ組とＢ組とＣ組に対応させるあらゆる組み合わせの数）
である。その数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）×（３！），
通りである。
（問３の解答おわり）
【問４】
６人を、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる組み合わせの数は何通りあるか。
【問４の解答】
（１）
A組に３人割り当て、B組に２人割り当て、C組に１人割り当てる。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人をA組に割り当て、次に残った３人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った１人をC組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りである。
（問４の解答おわり）
【問５】
６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問５の解答】
（１）
A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、【問３】の通り、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）×（３！），
通りである。
（２）
３人と２人と１人の３組を、A組とB組とC組に対応付けるあらゆる組み合わせの数は、３！組ある。
（３）
６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３組を、A組とB組とC組に対応付ける組み合わせの数）
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１）
（問５の解答おわり）
【問６】
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問６の解答】
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、先ず、６人のうち２人をA組に割り当て、次に残った４人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った２人をC組に割り当てる場合の数であって、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りである。
（問６の解答おわり）
【問７】
６人を、各組２人の（区別が無い）３組に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。
【問７の解答】
（１）
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、【問６】の通り、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りである。
（２）
各２人の（名前の区別が無い）３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるあらゆるバラエティの数、言い換えると、「A組とB組とC組への組分けを種にして、組の名前を付け替えて得られる組分けのバラエティの数」は、３！＝６ある。
（３）
６人を、各組２人の３組に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（名前の区別が無い３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるバラエティの数）
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２）／（３！），
通りである。
（問７の解答おわり）
《組み合わせの構造の対称性》
（事例１）
【問６】の、（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分ける組み合わせ）の組分けの数は、
（６Ｃ２）（４Ｃ２）（２Ｃ２），
通りあります。
その組分けでは、
A組 B組 C組
[人1,人2] [人3,人4] [人5,人6], （組分け１）
という組分けと、
[人5,人6] [人3,人4] [人1,人2], （組分け２）
という組分けがあります。
この、２人ずつ３つに分ける組分けには、その３つの組の人数がどれも同じ数であるという対称性があります。
そのため、【問７】で、A組とB組とC組の区別を無くすと、
この組分け１と組分け２は同じ組み分けになって重複します。
このように、A組とB組とC組の区別を無くすと、その対称性のために同じ組分けになって重複する組分けが発生します。そのため、その対称性のバラエティの３！で割り算して重複を無くした組分けの数を数える必要がありました。
（事例２）
一方で、【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を割り当てる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りあります。
その組分けでは、
A組 B組 C組
[人1,人2,人3] [人4,人5] [人6],
という組分けがある。
この、各組の人数が異なる人数が固定された組み分けでは、３つの組の人数がどれも異なって、人数の対称性がありません。
そのため、【問５】で組の区別を無くしても、重複する組分けは発生しません。すなわち、事例２の場合から、Ａ，Ｂ，Ｃという組の区別を無くても、組分けの数が変りませんでした。
（事例３）
【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（６Ｃ３）（３Ｃ２）（１Ｃ１），
通りあります。
しかし、その組分けでは、A組とB組とC組の人数に偏りがあります。Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせではありませんでした。
Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせは、【問３】の場合の組み分けでした。その【問３】の組み分けに、各組の区別を無くしたのが【問５】の組み分けでした。
その【問３】の組み分けでＡ組とＢ組とＣ組を置き換えた組み分けは、【問５】では同じ組み分けになって重複する組分けになります。
すなわち、組の置き換えに関して対称な組み分けである、組の区別が無い組み分けの数は、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数になりました。
この関係は普遍的な関係であって、【問６】と【問７】の間でも成り立っていました。すなわち、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けを含む【問６】の組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数が、各組の区別を無くした【問７】の組み分けの数になる関係が成り立っていました。
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