９人の組み分けのバラエティの数

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
（各人を区別できる）９人をＡ組とＢ組とＣ組に、どの組にも１人以上入るように分ける組合せの数はいくつあるか。

【解答１】
（１）先ず、9人を、(人数指定なく）Ａ，Ｂ，Ｃの３つの組に分ける事を考える。
その組み合わせの数は、

通りある。
（２）次に、9人を、(人数指定なく0人もOK）Ａ組とＢ組の２つの組に分け、Ｃ組は０人にする、２組占めで分ける事を考える。
その組み合わせの数は、

通りある。
ここで、
（２－１）その組み合わせの数のうち、９人全員を１組に入れてしまう１組占めの組み合わせの数は、A組占めにするかB組占めにするかの、
２通りがある。
（２－２）その２組占めにする２組を選ぶ組み合わせの数は、３つある。
（２－３）９人を、１人以上入れる２組占めに分ける組合せの数は、

通りある。
（３）A組０人B組０人C組９人にする、Ｃ組のみの１組占めで分ける事を考える。
その組み合わせの数は、
１通りある。
（３－１）９人全員を入れる１組占めする組（例えばＣ組）の選び方の数は、３つの選び方ができる。
（３－２）９人を、１人以上入れる１組占めに分ける組合せの数は、
３通りある。
（４）以上の結果から、９人をＡ組とＢ組とＣ組に、どの組にも１人以上入るように分ける組合せの数は、

通りある。
（解答おわり）

【別解１】
先の解における、
（２－３）９人を、１人以上入れる２組占めに分ける組合せの数は、
(A 0人　B 1人以上　C １人以上、の場合の数)
+(B 0人　C 1人以上　A １人以上、の場合の数)
+(C 0人　A 1人以上　B １人以上、の場合の数)

だけある。

《組分け問題の本質の数学構造を理解する》
　組分けの数には、以下の数学的構造がある。

よって、

になる。
　そのため、別解の計算結果も先の解と同じ式で表せる。
　組分け問題を深く考えることで、組分け問題の底に隠されている本質の数学の構造が見えてくる面白さがあります。そういう面白さを見つけるように数学を学ぶのが楽しいことだと思います。
（別解おわり）

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