３点が１直線上にある証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　平行四辺形ABCD内の1点Pを通り,各辺に平行線を引き辺AB,CD,BC,DAとの交点を,順にQ,R,S,Tとする。2直線QS,RTが点Oで交わる時,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。


《解答方針》
　この問題をメネラウスの定理の逆を用いて３点が一直線上にあることを証明する証明方法が良く知られています。
このページでは、その証明方法は使わず、もっと問題の本質を的確に把握して証明する、ベクトルの概念を用いた証明方法を示します。

【解答】
AT=QP=BS=x,
TD=PR=SC=y,
AQ=TP=DR=s,
QB=PS=RC=t,
とする。


水平線をOTRとして、その水平線上の点Aと点Pと点Cの高さの比は：
平行する２つの線分ＴＡとＲＰを考え、
点Aの高さ→ｘ，
点Ｐの高さ→ｙ，
平行する２つの線分ＲＣとＴＰの長さの比が(RC/TP)=(t/s)であるので、
点Ｃの高さ→(点Pの高さ)(t/s)=(yt)/s,
よって、
（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）＝(yt)/(sx), 　　(1)

一方で、
水平線をOQSとして、その水平線上の点Aと点Pと点Cの高さの比は：
平行する２つの線分ＱＡとＳＰを考え、
点Aの高さ→s，
点Ｐの高さ→t，
平行する２つの線分ＳＣとＱＰの長さの比が(SC/QP)=(y/x)であるので、
点Ｃの高さ→(点Pの高さ)(y/x)=(yt)/x,
よって、
（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）＝(yt)/(sx), 　　(2)

水平線OTRから見た高さの比(式1)も、
水平線OQSから見た高さの比(式2)も同じであった。

ベクトルOAとOCを以下の式であらわす。

そうすると、
水平線OTRを基準にした、（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）は、f/w,
水平線OQSを基準にした、（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）は、e/u,
になる。
ここで、式(1)と式(2)から、その高さの比は等しく(yt)/(sx)であった。
ゆえに、
f/w=e/u=(yt)/(sx),
そのため、ベクトルOCは、ベクトルOAの(f/w)倍の大きさの、ベクトルOAに平行なベクトルである。
よって、点Ｏ，Ａ，Ｃは一直線上にある。
（証明おわり）

《ここをクリックして得るpdf》
　この設問では無いのですが、３点が一直線上にある事を示す種々の方法の事例が書いてあります。

リンク：
メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
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