図形の角度を複素数平面で求める

この解答は、ここをクリックした先にある問題の解答です。

【問１】
　 以下の図形のｔａｎθを求めよ。ここで、ベクトルOAを複素数ａであらわし、ベクトルＯＢを複素数ｂであらわし、ベクトルＯＣを複素数ｃであらわす。


【解答】
　ベクトルの成す角度の関係を、未知の実数ｋ，ｓ，ｔ，ｕを使った以下の方程式(1)から(4)であらわす。

　次に式(3)と式(1)を用いた以下の計算によって、未知の実数ｋの値を求める。
（補足）
　複素数の方程式の解き方のポイント１：複素数の方程式は、(1)実数成分の方程式と(2)虚数成分の方程式との２つの方程式を使って解くことができる。
解き方のポイント２：または、その２つの方程式に対応する方程式として、(1)第１の方程式と(2)第１の方程式を複素共役に変形した第２の方程式との２つの方程式を使って解くことができる。以下では、ポイント２の解き方で解く。

次に、式(4)と式(2)を用いた以下の計算によって、未知の実数ｓの値を求める。

以下のように、ベクトルACがベクトルOBに対して成す角度θの方程式を求める。

この式(16)から、tanθを以下の式で計算する。

ここで、sin70°の変換公式の以下の公式：

を使って上式を変形する。

ここで、sin70°の変換公式の以下の公式：

を使って上式を変形する。

（解答おわり）

（補足）
　以下の公式が計算に必要であった。


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図形の角度を求める問題

この解答は、ここをクリックした先にある問題の解答です。

【問１】　
以下の図形のｔａｎθを求めよ。


【解答】
　先ず三角形OABの外接円を書いて、外接円の中心から補助線と角度を図形に書きこんで、問題を解く助けにする。

　次に三角形ＯＢＣの外接円を書いて、外接円の中心から補助線と角度を図形に書きこんで、問題を解く助けにする。

以下の図のベクトルＡＣのＸ方向の長さとＹ方向の長さを計算して、それからｔａｎθを計算する。

以下のように、線分OBの中点から見た、左側の点Aと右側の点Cの各々の点までのＸ方向の長さとＹ方向の長さを計算する。

ベクトルＡＣのＹ方向の長さを計算する。

ベクトルＡＣのＸ方向の長さを計算する。

ｔａｎθを計算する。

（解答おわり）

（補足）
　この問題の後半の解は、以下のように計算することもできる。

次にｔａｎθを計算する。

ここで、以下の公式を使う。

この公式を使って、以下の計算をする。

（解答おわり）

（補足）
　この種の公式を使って三角関数の式を単純化する必要があるのは、複素数平面を使って問題を解く場合も同じである。以下の公式が、計算に必要である。


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sin70°の変換公式

このページは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題１】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】
この公式の証明は、以下の式を証明すれば良い。

この式の左辺を計算する

左辺を計算した結果、右辺の式になったので、証明できた。
（証明おわり）

（補足）後半の計算は、以下のように計算することもできる。


【問題２】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】
以下の様に計算する。

（証明おわり）

【問題３】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】
以下の様に計算する。

（証明おわり）

（補足）
　この公式は、一番基本的な公式として覚えることが大切だと思う。その理由は、問２の計算を以下のように進めると理解できる。

ここで、この問３の公式を使って、以下のように計算が進められる。


【問題４】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題５】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題６】
　以下の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【課題】
　以下の公式が成り立つことを各自で証明せよ。








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