以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
【解答】
４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。
そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は、（ベクトルOAとベクトルOBが平行でないときは）以下の式(4)であらわせます。
この式(4)を以下のように解きます。
これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）
【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。
【解答】
先ず、以下の式が成り立つ。
ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。
この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）
（解答おわり）
【問３】
空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。
【解答】
空間内の４点ＡＢＣＰが同一平面上にある場合、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある。
空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある条件は、（ベクトルＡＢとベクトルＡＣが平行でないときは）以下の式(1)であらわせる。
ここで、空間内の点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを以下の式であらわす。
そうすると、空間内の点Ｐの位置ベクトルＯＰは、以下の式であらわせる。
ここで、この式のベクトルの係数の間に以下の関係が成り立つ。
この式は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に必ず成り立つ必要条件である。
（必要条件）
次に、係数の和が１となることが、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件でもあることを示す。
先ず、以下の式(2)と(3)が成り立つものとする。
すなわち、式(2)と(3)が成り立つ場合に、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣによって空間ベクトルＡＰがあらわされる式(4)が成り立つ。式(4)は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある条件である。
よって、式(2)と(3)が成り立つことは、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件である。
（十分条件）
（解答おわり）
【問４】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,1)が同一平面上にないことを証明せよ。
【証明開始】
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせる。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢは０ベクトルでは無く、また、互いに平行では無いので１次独立なベククトルである。この１次独立な２つのベクトルは２次元平面を張る。その２次元平面に垂直なベクトルｈを以下の計算で求める。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢを合成して、以下の式(4)であらわされる、１つの６要素が０であるベクトルＯＤを作る。ベクトルＯＡとベクトルＯＢが張る平面は、ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面と同じである。
ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面に垂直なベクトルｈを以下で求める。
以下の式(5)で定めるベクトルｈは、式(6)のベクトルＯＤとの内積の計算結果が０になるので、ベクトルＯＤに垂直である。
このベクトルｈがベクトルＯＡと垂直になるように、以下の計算でベクトルｈの要素ｋの値を定める。
この式(8)でベクトルｈが定まった。
このベクトルｈはベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面に垂直なので、その平面上のベクトルは全てベクトルｈに垂直である。
このベクトルｈとベクトルｈとの内積を以下の式で計算する。
ベクトルOCは、ベクトルｈとの内積が０にならないので、ベクトルｈに垂直ではない。そのためベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂの張る平面上には無い。よって、点Ｃは、その平面の外にある。
（証明おわり）
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【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
【解答】
４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。
そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は、（ベクトルOAとベクトルOBが平行でないときは）以下の式(4)であらわせます。
この式(4)を以下のように解きます。
これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）
【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。
【解答】
先ず、以下の式が成り立つ。
ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。
この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）
（解答おわり）
【問３】
空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。
【解答】
空間内の４点ＡＢＣＰが同一平面上にある場合、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある。
空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある条件は、（ベクトルＡＢとベクトルＡＣが平行でないときは）以下の式(1)であらわせる。
ここで、空間内の点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを以下の式であらわす。
そうすると、空間内の点Ｐの位置ベクトルＯＰは、以下の式であらわせる。
ここで、この式のベクトルの係数の間に以下の関係が成り立つ。
この式は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に必ず成り立つ必要条件である。
（必要条件）
次に、係数の和が１となることが、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件でもあることを示す。
先ず、以下の式(2)と(3)が成り立つものとする。
すなわち、式(2)と(3)が成り立つ場合に、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣによって空間ベクトルＡＰがあらわされる式(4)が成り立つ。式(4)は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある条件である。
よって、式(2)と(3)が成り立つことは、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件である。
（十分条件）
（解答おわり）
【問４】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,1)が同一平面上にないことを証明せよ。
【証明開始】
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせる。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢは０ベクトルでは無く、また、互いに平行では無いので１次独立なベククトルである。この１次独立な２つのベクトルは２次元平面を張る。その２次元平面に垂直なベクトルｈを以下の計算で求める。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢを合成して、以下の式(4)であらわされる、１つの６要素が０であるベクトルＯＤを作る。ベクトルＯＡとベクトルＯＢが張る平面は、ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面と同じである。
ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面に垂直なベクトルｈを以下で求める。
以下の式(5)で定めるベクトルｈは、式(6)のベクトルＯＤとの内積の計算結果が０になるので、ベクトルＯＤに垂直である。
このベクトルｈがベクトルＯＡと垂直になるように、以下の計算でベクトルｈの要素ｋの値を定める。
この式(8)でベクトルｈが定まった。
このベクトルｈはベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面に垂直なので、その平面上のベクトルは全てベクトルｈに垂直である。
このベクトルｈとベクトルｈとの内積を以下の式で計算する。
ベクトルOCは、ベクトルｈとの内積が０にならないので、ベクトルｈに垂直ではない。そのためベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂの張る平面上には無い。よって、点Ｃは、その平面の外にある。
（証明おわり）
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