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【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
【解答】
４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。
そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は、（ベクトルOAとベクトルOBが平行でないときは）以下の式(4)であらわせます。
この式(4)を以下のように解きます。
これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）
【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。
【解答】
先ず、以下の式が成り立つ。
ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。
この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）
（解答おわり）
【問３】
空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。
【解答】
《必要条件》
空間内の４点ＡＢＣＰが同一平面上にある場合、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある。
空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある条件は、（ベクトルＡＢとベクトルＡＣが平行でないときは）以下の式(1)であらわせる。
ここで、空間座標の原点をOとするとき、空間内の点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルが以下の式であらわせる。
そうすると、空間内の点Ｐの位置ベクトルＯＰは、以下の式であらわせる。
ここで、この式のベクトルの係数の間に以下の関係が成り立つ。
この式は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に必ず成り立つ必要条件である。
（必要条件の証明おわり）
《位置ベクトルの公式》
ここで、点Ｐの位置ベクトルが、図形全体をベクトルＶで平行移動しても点Pも点ＡもＢもＣも同じベクトルＶで平行移動する場合を考える。その平行移動の後でも変わらない式によって、点Ｐの位置ベクトルが、位置ベクトルＡとＢとＣの所定係数の和の式であらわされるとき。その式の各位置ベクトルの係数の和は必ず１にならなければならない。
なぜならば、図形全体をベクトルＶで平行移動させたときに、図形のどの点も、同じベクトルＶで平行移動する。
すなわち、図形全体を同じベクトルＶで平行移動させたときに、位置ベクトルＰも同じベクトルＶで平行移動する必要があるゆえに、位置ベクトルＰが複数の位置ベクトルの所定係数の和になる場合は、その係数の和は必ず１でなければならない。
（位置ベクトルの公式おわり）
《十分条件》
次に、係数の和が１となることが、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件でもあることを示す。
先ず、以下の式(2)と(3)が成り立つものとする。
すなわち、式(2)と(3)が成り立つ場合に、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣによって空間ベクトルＡＰがあらわされる式(4)が成り立つ。式(4)は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある条件である。
よって、式(2)と(3)が成り立つことは、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件である。
（十分条件の証明おわり）
（解答おわり）
【問４】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,1)が同一平面上にないことを証明せよ。
【証明開始】
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせる。
２つのベクトルＯＡとベクトルＯＢは０ベクトルでは無く、また、互いに平行では無いので１次独立な２つのベクトルである。この１次独立な２つのベクトルは２次元平面を張る。その２次元平面に垂直なベクトルｈを以下の計算で求める。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢを合成して、以下の式(4)であらわされるように１つの成分が０のベクトルＯＤを作る。ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面は、ベクトルＯＡとベクトルＯＢが張る平面と同じ平面である。
ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面に垂直なベクトルｈを以下で求める。ベクトルＯＤを含むＹＺ座標平面上にあるベクトルのうち、ベクトルＯＤに垂直なベクトルは、ベクトルＯＤのＹ成分とＺ成分を入れ替えて、Ｚ成分の符号を変えることで作ることができる。
その知識を使って、以下の式(5)で定めるベクトルｈを作る。このベクトルｈは、式(6)のベクトルＯＤとの内積の計算結果が０になるので、ベクトルＯＤに垂直である。
このベクトルｈがベクトルＯＡと垂直になるように、以下の計算でベクトルｈの要素ｋの値を定める。
この式(8)でベクトルｈが定まった。
このベクトルｈはベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面に垂直なので、ベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面上のベクトルは全てベクトルｈに垂直である。
このベクトルｈとベクトルＯＣとの内積を以下の式で計算する。
ベクトルOCは、ベクトルｈとの内積が０にならないので、ベクトルｈに垂直ではない。そのためベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂの張る平面上には無い。よって、点Ｃは、その平面の外にある。
（証明おわり）
《備考》
ベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面（３点Ｏ，Ａ，Ｂを含む平面）に垂直なベクトルｈ’を、ベクトルＯＡとベクトルＯＢの外積によって作ることができる。
そのベクトルｈ’とベクトルＯＣとの内積が０で無ければ、ベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂを含む平面上には無い。その場合は、３つのベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは一次独立である。
リンク：
ベクトルの一次独立とは何か
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【問１】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
ｋの値を求めよ。
言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
【解答】
４点ＯＡＢＣが同一平面上にある場合、ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせます。
そして、ベクトルＯAとベクトルＯＢとベクトルＯＣが同一平面上にある条件は、（ベクトルOAとベクトルOBが平行でないときは）以下の式(4)であらわせます。
この式(4)を以下のように解きます。
これで、パラメータｋの値が求まった。
（解答おわり）
【問２】
問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。
【解答】
先ず、以下の式が成り立つ。
ベクトルＯＰを以下の２通りにあらわす。
この２つのあらわし方のベクトルＯＰを等しいとする下のベクトル方程式(25)を記述して解く。
（ただし、下のベクトル方程式(25)が解を持つためには、３つのベクトルOA,AB,OCが同一平面上にあることが必要です）
（解答おわり）
【問３】
空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。
【解答】
《必要条件》
空間内の４点ＡＢＣＰが同一平面上にある場合、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある。
空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣと空間ベクトルＡＰが同一平面上にある条件は、（ベクトルＡＢとベクトルＡＣが平行でないときは）以下の式(1)であらわせる。
ここで、空間座標の原点をOとするとき、空間内の点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルが以下の式であらわせる。
そうすると、空間内の点Ｐの位置ベクトルＯＰは、以下の式であらわせる。
ここで、この式のベクトルの係数の間に以下の関係が成り立つ。
この式は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に必ず成り立つ必要条件である。
（必要条件の証明おわり）
《位置ベクトルの公式》
ここで、点Ｐの位置ベクトルが、図形全体をベクトルＶで平行移動しても点Pも点ＡもＢもＣも同じベクトルＶで平行移動する場合を考える。その平行移動の後でも変わらない式によって、点Ｐの位置ベクトルが、位置ベクトルＡとＢとＣの所定係数の和の式であらわされるとき。その式の各位置ベクトルの係数の和は必ず１にならなければならない。
なぜならば、図形全体をベクトルＶで平行移動させたときに、図形のどの点も、同じベクトルＶで平行移動する。
すなわち、図形全体を同じベクトルＶで平行移動させたときに、位置ベクトルＰも同じベクトルＶで平行移動する必要があるゆえに、位置ベクトルＰが複数の位置ベクトルの所定係数の和になる場合は、その係数の和は必ず１でなければならない。
（位置ベクトルの公式おわり）
《十分条件》
次に、係数の和が１となることが、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件でもあることを示す。
先ず、以下の式(2)と(3)が成り立つものとする。
すなわち、式(2)と(3)が成り立つ場合に、空間ベクトルＡＢと空間ベクトルＡＣによって空間ベクトルＡＰがあらわされる式(4)が成り立つ。式(4)は、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある条件である。
よって、式(2)と(3)が成り立つことは、空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にあるための十分条件である。
（十分条件の証明おわり）
（解答おわり）
【問４】
空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,1)が同一平面上にないことを証明せよ。
【証明開始】
ベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは以下の式であらわせる。
２つのベクトルＯＡとベクトルＯＢは０ベクトルでは無く、また、互いに平行では無いので１次独立な２つのベクトルである。この１次独立な２つのベクトルは２次元平面を張る。その２次元平面に垂直なベクトルｈを以下の計算で求める。
ベクトルＯＡとベクトルＯＢを合成して、以下の式(4)であらわされるように１つの成分が０のベクトルＯＤを作る。ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面は、ベクトルＯＡとベクトルＯＢが張る平面と同じ平面である。
ベクトルＯＡとベクトルＯＤが張る平面に垂直なベクトルｈを以下で求める。ベクトルＯＤを含むＹＺ座標平面上にあるベクトルのうち、ベクトルＯＤに垂直なベクトルは、ベクトルＯＤのＹ成分とＺ成分を入れ替えて、Ｚ成分の符号を変えることで作ることができる。
その知識を使って、以下の式(5)で定めるベクトルｈを作る。このベクトルｈは、式(6)のベクトルＯＤとの内積の計算結果が０になるので、ベクトルＯＤに垂直である。
このベクトルｈがベクトルＯＡと垂直になるように、以下の計算でベクトルｈの要素ｋの値を定める。
この式(8)でベクトルｈが定まった。
このベクトルｈはベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面に垂直なので、ベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面上のベクトルは全てベクトルｈに垂直である。
このベクトルｈとベクトルＯＣとの内積を以下の式で計算する。
ベクトルOCは、ベクトルｈとの内積が０にならないので、ベクトルｈに垂直ではない。そのためベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂの張る平面上には無い。よって、点Ｃは、その平面の外にある。
（証明おわり）
《備考》
ベクトルＯＡとベクトルＯＢの張る平面（３点Ｏ，Ａ，Ｂを含む平面）に垂直なベクトルｈ’を、ベクトルＯＡとベクトルＯＢの外積によって作ることができる。
そのベクトルｈ’とベクトルＯＣとの内積が０で無ければ、ベクトルＯＣは３点Ｏ，Ａ，Ｂを含む平面上には無い。その場合は、３つのベクトルＯＡとベクトルＯＢとベクトルＯＣは一次独立である。
リンク：
ベクトルの一次独立とは何か
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