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【問題１】
x軸の正の向きとのなす角が30°で、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直な単位ベクトルを求めよ。
【解答】
x軸の正の向きのベクトルをベクトルb=(1,0,0)とする。ベクトルｂはベクトルａに垂直である（ｘ軸はベクトルａに垂直である）。
先ず、下図に示すように、ベクトルaに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直なベクトルＤを求める。ベクトルａとベクトルｂとベクトルＤとは互いに垂直である。
そして、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直で、x軸の正の向きとのなす角が30°のベクトルＨを、上式のように、ベクトルａに垂直なベクトルｂとベクトルDの合成ベクトルで表す。その式のベクトルＨはベクトルｂを含む。また、ベクトルｂはＸ軸の正の方向を向いているので、ベクトルＨとＸ軸の正の方向のベクトル（ベクトルｂ）とのなす角は９０°以下である。
また、ベクトルｂとベクトルａに垂直なベクトルDは、以下の式のように外積の計算で求める。
そして、ベクトルｂとベクトルHが角度θ＝３０°を成す以下の方程式を解いてベクトルHの方向を定める。
このベクトルHを単位ベクトルに変換する。
この単位ベクトルが、求める単位ベクトルである。
（解答おわり）
【問題２】
以下の図のベクトルAに対し９０度の方向を向き、ベクトルBに対し６０度の角度、又はその逆方向（１２０度の角度）を向くベクトルHを求めよ。
（ベクトルHは、ベクトルBに対し６０度の角度を成すものでも、又は、その方向が逆向きの１２０度の角度を成すベクトルでも、どちらの方向でも良いものとする）
【解１】
下図のように、ベクトルＢを、ベクトルＡに平行するベクトルと、ベクトルＡに垂直なベクトルＣとに分解する。
また、ベクトルＡとベクトルＢに垂直なベクトルＤを求める。
求めるべきベクトルＨは、上の式のように、ベクトルCとベクトルDの合成ベクトルで表す。そのベクトルＨは、ベクトルＣを含み、それ以外のベクトルの成分はベクトルＣに垂直な方向を向いているので、ベクトルＨとベクトルＢのなす角は９０°以下である。そのベクトルＨを（－１）倍したベクトル（－Ｈ）は、ベクトルＢとのなす角が９０°以上ある。
ベクトルCは以下の式で計算する。
ベクトルDは、以下の式の外積の計算で求める。
そして、ベクトルBとベクトルHが角度θ＝６０°を成す方程式を解いてベクトルHを定める。
このベクトルH’が、求めるベクトルである。
（解１おわり）
《補足１》
この種の問題は、ベクトルＢとベクトルＨのなす角度θの設定値によっては、解が無い場合がある。例えば、ベクトルＡとベクトルＢが垂直ではない場合に、ベクトルＢとＨのなす角θの値が極めて０に近い場合は、ベクトルＨがベクトルＡに垂直になることが不可能になる。
（補足１おわり）
【解２】
ベクトルHに関して、以下の式(1)と式(2)が成り立つ。
θは６０度又は１２０度の角度である。
解２の解き方は、先ず、ベクトルＡに垂直なベクトルを２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルＨをあらわして、ベクトルＨを求める、という解き方をする。
そのために、ベクトルAに垂直な、以下の２つのベクトルｍとｎを考える。
（補足２：２つのベクトルｍとｎの別の表し方）
ベクトルAに垂直な２つのベクトルｍとｎは、以下の様に表すこともできる。
（補足２おわり）
この２つのベクトルｍとｎは、どちらもベクトルＡに垂直である。そのため、式(1)を満足する、ベクトルAに垂直な全てのベクトルHを、係数ｓとｔを使って以下の式であらわすことができる。
（１）ただし、ベクトルｎが、ベクトルBに対し６０度又は１２０度の角度を成す条件を満足するベクトルであったならば、求めるベクトルHを定める係数 s=0 である。
（２）そうで無ければ、ｓ≠0であり、
以下の式(3)で、未知の係数ｋを使って求めるベクトルHをあらわすことができる。
（ただし、逆方向のベクトルを表すには負の値の係数を掛け算する必要があり、大きさの異なるベクトルを表すにはその大きさの比の係数を掛け算する必要がある。）
以下のように、式3であらわすベクトルHを式2に代入して、ベクトルHを求める。
この式４の両辺を二乗する。
これで未知の係数ｋが求められたので、このｋを式3に代入して求めるベクトルHを計算する。
【問題１】
x軸の正の向きとのなす角が30°で、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直な単位ベクトルを求めよ。
【解答】
x軸の正の向きのベクトルをベクトルb=(1,0,0)とする。ベクトルｂはベクトルａに垂直である（ｘ軸はベクトルａに垂直である）。
先ず、下図に示すように、ベクトルaに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直なベクトルＤを求める。ベクトルａとベクトルｂとベクトルＤとは互いに垂直である。
そして、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直で、x軸の正の向きとのなす角が30°のベクトルＨを、上式のように、ベクトルａに垂直なベクトルｂとベクトルDの合成ベクトルで表す。その式のベクトルＨはベクトルｂを含む。また、ベクトルｂはＸ軸の正の方向を向いているので、ベクトルＨとＸ軸の正の方向のベクトル（ベクトルｂ）とのなす角は９０°以下である。
また、ベクトルｂとベクトルａに垂直なベクトルDは、以下の式のように外積の計算で求める。
そして、ベクトルｂとベクトルHが角度θ＝３０°を成す以下の方程式を解いてベクトルHの方向を定める。
このベクトルHを単位ベクトルに変換する。
この単位ベクトルが、求める単位ベクトルである。
（解答おわり）
【問題２】
以下の図のベクトルAに対し９０度の方向を向き、ベクトルBに対し６０度の角度、又はその逆方向（１２０度の角度）を向くベクトルHを求めよ。
（ベクトルHは、ベクトルBに対し６０度の角度を成すものでも、又は、その方向が逆向きの１２０度の角度を成すベクトルでも、どちらの方向でも良いものとする）
【解１】
下図のように、ベクトルＢを、ベクトルＡに平行するベクトルと、ベクトルＡに垂直なベクトルＣとに分解する。
また、ベクトルＡとベクトルＢに垂直なベクトルＤを求める。
求めるべきベクトルＨは、上の式のように、ベクトルCとベクトルDの合成ベクトルで表す。そのベクトルＨは、ベクトルＣを含み、それ以外のベクトルの成分はベクトルＣに垂直な方向を向いているので、ベクトルＨとベクトルＢのなす角は９０°以下である。そのベクトルＨを（－１）倍したベクトル（－Ｈ）は、ベクトルＢとのなす角が９０°以上ある。
ベクトルCは以下の式で計算する。
ベクトルDは、以下の式の外積の計算で求める。
そして、ベクトルBとベクトルHが角度θ＝６０°を成す方程式を解いてベクトルHを定める。
このベクトルH’が、求めるベクトルである。
（解１おわり）
《補足１》
この種の問題は、ベクトルＢとベクトルＨのなす角度θの設定値によっては、解が無い場合がある。例えば、ベクトルＡとベクトルＢが垂直ではない場合に、ベクトルＢとＨのなす角θの値が極めて０に近い場合は、ベクトルＨがベクトルＡに垂直になることが不可能になる。
（補足１おわり）
【解２】
ベクトルHに関して、以下の式(1)と式(2)が成り立つ。
解２の解き方は、先ず、ベクトルＡに垂直なベクトルを２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルＨをあらわして、ベクトルＨを求める、という解き方をする。
そのために、ベクトルAに垂直な、以下の２つのベクトルｍとｎを考える。
ベクトルAに垂直な２つのベクトルｍとｎは、以下の様に表すこともできる。
（補足２おわり）
この２つのベクトルｍとｎは、どちらもベクトルＡに垂直である。そのため、式(1)を満足する、ベクトルAに垂直な全てのベクトルHを、係数ｓとｔを使って以下の式であらわすことができる。
（２）そうで無ければ、ｓ≠0であり、
以下の式(3)で、未知の係数ｋを使って求めるベクトルHをあらわすことができる。
（ただし、逆方向のベクトルを表すには負の値の係数を掛け算する必要があり、大きさの異なるベクトルを表すにはその大きさの比の係数を掛け算する必要がある。）
（解２おわり）
《研究》
解２では、ベクトルAに垂直な２つのベクトル同士は互いに垂直であるというわけではなかった。ここでは、ベクトルＡ方向の軸を持つ直交座標系の、ベクトルＡに垂直な他の軸方向の（互いに垂直な）ベクトルＶとＷ（単位ベクトル）を、（ベクトルの外積計算を利用せずに）求める方法を研究する。
このベクトルＶとＷを合成することで、ベクトルＡに垂直な全てのベクトルを作ることができる。それらの直交ベクトル系を使うと、いろいろな問題が解き易くなる。
《補足３》
解１と解２は、解がかなり異なる形をしているが、同じ解（正負が逆ではあるが）をあらわしている。解１の方が、解答の見通しが良いので、より良い解答である。
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