以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【難問１】三次の方程式
ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）
（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０ （式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。
方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０ （式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０ （式３）
が成り立つ。
（証明終わり）
そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ２＋ａ＝０ （式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。
【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ２＋ａ＝０ （式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０ （式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ） （式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）２＋ａ＝０
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）３－（１／２）ｂ＝０
－２７（ｂ／ａ）３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）３＋４ｂ＝０
２７ｂ３＋４ｂａ３＝０
ｂ（２７ｂ２＋４ａ３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）２＋（ａ／３）３＝０ （式７’）
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。
（解答おわり）
【解答２】
式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。
このｆをｇで割り算した余りの式ｈを計算する。
次にｇをｈで割り算した余りの定数項の式ｋを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）
ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。
解答１で求めた解の式７と同じ式ａ－５が得られた。
（ａ＝０の場合）
重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）
（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）２－（ａ／３）３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。
この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。
そして、その式８のｘに、
式１が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす
を代入して式９を計算する。
その式９：
ｙの微分に－１を掛けた式≧０
が、式１の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Ｄを思い出し易い。
この式９を展開すると以下の式１０になります。
この式１０を以下の様に変形することで判別式Ｄが導き出せます。
こうして、式１１の判別式Ｄが導き出せた。
（参考）
「３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根」
【問２】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根の値である。
そのため、以下のように、式(1)と式(2)を連立してパラメータｃの値を計算する。
（問２の解答おわり）
【難問３】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータｋの値を計算する。
（問３の解答おわり）
【難問４】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａの値を計算する。
（問４の解答おわり）
【難問５】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａ、ｋ、ｃの関係式を求める。
分母の最大の項を掛け算する。
式(8)が求める、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係である。
（問５の解答おわり）
リンク：
三次方程式の判別式
高校数学の目次
【難問１】三次の方程式
ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）
（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０ （式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。
方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０ （式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０ （式３）
が成り立つ。
（証明終わり）
そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ２＋ａ＝０ （式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。
【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ＝０ （式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ２＋ａ＝０ （式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０ （式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ） （式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）２＋ａ＝０
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）３－（１／２）ｂ＝０
－２７（ｂ／ａ）３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）３＋４ｂ＝０
２７ｂ３＋４ｂａ３＝０
ｂ（２７ｂ２＋４ａ３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、
２７ｂ２＋４ａ３＝０ （式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）２＋（ａ／３）３＝０ （式７’）
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。
（解答おわり）
【解答２】
式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）
ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。
（ａ＝０の場合）
重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）
（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）２－（ａ／３）３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。
この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。
式１が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす
その式９：
ｙの微分に－１を掛けた式≧０
が、式１の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Ｄを思い出し易い。
この式９を展開すると以下の式１０になります。
（参考）
「３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根」
【問２】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根の値である。
そのため、以下のように、式(1)と式(2)を連立してパラメータｃの値を計算する。
（問２の解答おわり）
【難問３】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータｋの値を計算する。
（問３の解答おわり）
【難問４】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａの値を計算する。
（問４の解答おわり）
【難問５】三次の方程式
の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。
【解答】
式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａ、ｋ、ｃの関係式を求める。
分母の最大の項を掛け算する。
式(8)が求める、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係である。
（問５の解答おわり）
リンク：
三次方程式の判別式
高校数学の目次
