２直線の交点の軌跡

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　実数ａがａ≧０の範囲で変化するとき、ｘｙ平面上での２直線

の交点の軌跡を求め、図示せよ。

【解１】
ｘ≠０　の場合、(2)より、

(4)を(1)に代入する。

両辺にｘを掛け算する。

次に、この式(5)の円の方程式の範囲を、式(3)を満足する範囲に制限する。
式(2)は点Ｂ(0,1) を通る直線をあらわし、その直線の傾きは、以下の式(6)であらわさせる。式(3)に従って、その傾きの範囲が式(6)の不等号で制限される。その傾きの制限が式(5)の円の方程式の範囲を制限する。


上図のように、軌跡上の点Ｐ(x,y) と点Ｂとを結ぶ直線の傾きが式(6)で制限されるので、結局、点Ｐ(x,y) のｘ座標とｙ座標が以下の式(7)(8)で制限される。

そのため、求める軌跡は上図の円の実線の部分になる。
（解１おわり）

【解２】

　式(1)の直線の式は、下図の点Ａ(1,0) を通る直線(11)の式に変形できる。直線(11)は、傾きが（１／ａ）の直線である。ａ＝０のときは、ｙ軸に平行な直線になる。
　式(2)の直線の式は、下図の点Ｂ(0,1) を通る直線(12)の式に変形できる。直線(12)は、傾きが（－ａ）の直線である。ａ＝０のときは、ｘ軸に平行な直線になる。


　軌跡上の点を点Ｐ(x,y) とする。式(11)であらわす直線ＡＰの傾き(1/a) と、式(12)であらわす直線ＢＰの傾き(-a)の積が（－１）になるので、直線ＡＰと直線ＢＰは直交し、
∠ＡＰＢ＝９０°
になる。
そのため軌跡上の点Ｐは、線分ＡＢを直径とする円上の点になる。
ａ＝０の場合に、点Ｐは点Ｃ(1,1) になる。
a＞０の場合に、
（直線ＢＰの傾き）＜０
なので、点Ｐは、ａ（≧０）が大きくなるにつれて、上図の円の点Ｃから右回りに原点Ｏ(0,0) まで向かう。点Ｐは原点Ｏの近傍まで近づき、原点Ｏには達さない。
結局、点Ｐのｘ座標値とｙ座標値に関して、以下の式(7)と(8)が成り立つ。

求める軌跡は上図の円の実線の部分になる。
（解２おわり）

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三角形の外接円の半径と内接円の半径の関係

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
三角形ＤＥＦに外接する円の半径R2と、内接する円の半径Rの関係を求めよ。


【解答】
三角形ＤＥＦの内接円の半径をＲとする。
それは、三角形ＡＢＣの外接円の半径でもある。

（解答おわり）

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三角形の三角関数の３重積と３項和の公式
三角形の三角関数の３重積と３項和の公式（２）
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三角形の三角関数の公式

《重要な計算公式》
cosの三角関数を半角の三角関数の積に変換する場合に、

上記の２つの式のどれかを使って半角の三角関数の積に変換すべし。

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｓｉｎ(Ｃ)

【証明開始】
ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)
＝ｓｉｎ(π－Ｃ)
＝－ｓｉｎ(－Ｃ)
＝ｓｉｎ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問２】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＝－ｃｏｓ(Ｃ)

【証明開始】
ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)
＝ｃｏｓ(π－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(－Ｃ)
＝－ｃｏｓ(Ｃ)，
（証明おわり）

【問３】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ

【証明開始】
ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ－Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）／２）
＝ｓｉｎ（（π／２）－Ｃ）
＝ｃｏｓＣ
（証明おわり）
 他の式の証明も同様である。

【問４】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎ（２Ｃ）
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ）
ｓｉｎ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎ（２Ｂ）

【証明開始】
ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（π－２Ｃ）
＝ｓｉｎ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

【問５】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）＝－ｃｏｓ（２Ａ）
ｃｏｓ（Ｃ＋Ａ－Ｂ）＝－ｃｏｓ（２Ｂ）

【証明開始】
ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）
＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－２Ｃ）
＝ｃｏｓ（π－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（－２Ｃ）
＝－ｃｏｓ（２Ｃ）
（証明おわり）
他の式の証明も同様である。

上の公式を直ぐに導き出せるようにしておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

【問６】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2cosＡsinＣ＝sinＢ＋sin(Ｃ-Ａ),

【証明開始】
2cosＡsinＣ
＝sin(Ａ+Ｃ)＋sin(Ｃ-Ａ)
＝sinＢ＋sin(Ｃ-Ａ),
（証明おわり）

【問７】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2cosＡcosＣ＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2cosＡcosＣ
＝cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ
＝-cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問９】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。
2sinＡsinＣ＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),

【証明開始】
2sinＡsinＣ
＝-cos(Ａ+Ｃ)+cos(Ａ-Ｃ)
＝cosＢ+cos(Ａ-Ｃ),
（証明おわり）

【問１０】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。



【証明開始】

また、

（証明おわり）

【問１１】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。



【証明開始】

また、

（証明おわり）

【問１２】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。



【証明開始】

また、

（証明おわり）

【問１３】三角形ＡＢＣの角度の以下の公式を証明せよ。



【証明開始】

また、

（証明おわり）

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３次方程式が重根を持つ条件

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【難問１】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【解答１】
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
（２）
３（式１）－（式４）ｘを計算する。
３ｘ^３＋３ａｘ＋３ｂ－（３ｘ^３＋ａｘ）＝０
３ａｘ＋３ｂ－ａｘ＝０
２ａｘ＋３ｂ＝０　（式５）
（３）
ａ≠０の場合は、
ｘ＝－３ｂ／（２ａ）　（式６）
このｘの値が重根である。
（４）
ａ＝０の場合は、
式５より、
ｂ＝０
すなわち、ａ＝ｂ＝０の場合に、式１も式４もｘ＝０を解に持つ。
（５）
式６のｘの値を式４に代入する。
３（－３ｂ／（２ａ））^２＋ａ＝０
（２７／４）（ｂ／ａ）^２＋ａ＝０
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
式７は、ａ＝ｂ＝０の場合も含んでいる。
（６）
式６のｘの値を式１に代入する。
（－３ｂ／（２ａ））^３＋ａ（－３ｂ／（２ａ））＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（３／２）ｂ＋ｂ＝０
－（２７／８）（ｂ／ａ）^３－（１／２）ｂ＝０ 
－２７（ｂ／ａ）^３－４ｂ＝０
２７（ｂ／ａ）^３＋４ｂ＝０
２７ｂ^３＋４ｂａ^３＝０
ｂ（２７ｂ^２＋４ａ^３）＝０
ｂ＝０
ｏｒ
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
再び式７を得た。
（７）
よって、パラメータａとｂの間に成り立つ関係は、 
２７ｂ^２＋４ａ^３＝０　（式７）
である。おぼえ易い式に変形すると、
（ｂ／２）^２＋（ａ／３）^３＝０　（式７’） 
これが、式１が重根（３重根も重根の一種として）を持つ条件である。この式の左辺の式は、３次方程式の判別式である。
（解答おわり）

【解答２】 
　式１が重根を持つ場合は、式ｆと、それを微分した式ｆ’≡ｇが共通因数を持つ。
　共通因数を持つ式ｆと式ｇをユークリッドの互除法で余りを計算すると、余りの式は割り切れる結果、余りの定数項が０になる。
そのため、以下のように、ユークリッドの互除法で余りの定数項を計算する。
（１）先ず、ｆ’≡ｇを計算する。

このｆをｇで割り算した余りの式ｈを計算する。

 次にｇをｈで割り算した余りの定数項の式ｋを計算する。
（ただし、ａ≠０とする）

ｆとｇが共通因数ｈを持つので、式ｇはｈで割り切れ、余りの定数項ｋは０になる。
よって、以下の式が成り立つ。

解答１で求めた解の式７と同じ式ａ－５が得られた。この式は３次方程式の判別式である。
（ａ＝０の場合）
　重根を持つ条件は、ｂ＝０である。
これは、式ａ－５に当てはまっている。
その場合にｘ＝０で３重根を持つ。
（解答おわり）

（コメント）
ここで、３次方程式１の判別式Ｄは、
Ｄ≡－（ｂ／２）^２－（ａ／３）^３
であり、
Ｄ＝０の場合に式１は重根を持ち、
Ｄ＞０の場合に式１は３つの実数根を持つ。

この判別式Ｄは、以下の様にすると思い出し易い。
式１をｙとして、
ｙの微分に－１を掛けた式８を考える。

そして、その式８のｘに、
式１が重根を持つ場合には重根の絶対値をあらわす

を代入して式９を計算する。
その式９：
ｙの微分に－１を掛けた式≧０
が、式１の根が全て実数になる条件式であると覚える
と、判別式Ｄを思い出し易い。

この式９を展開すると以下の式１０になります。

この式１０を以下の様に変形することで判別式Ｄが導き出せます。

 こうして、式１１の判別式Ｄが導き出せた。
（参考）
「３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根」

【問２】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根の値である。
　そのため、以下のように、式(1)と式(2)を連立してパラメータｃの値を計算する。

（問２の解答おわり）

【難問３】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータｋの値を計算する。

（問３の解答おわり）

【難問４】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａの値を計算する。

（問４の解答おわり）

【難問５】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。

【解答】
　式(1) が重根を持つ場合は、式ｆ(x) と、それを微分した式ｆ’(x) が共通のｘの値で成り立つ。そのｘの値が重根のｘの値である。
　共通のｘの値を持つ式ｆ(x) と式ｆ’(x) を連立することで、以下のように、パラメータａ、ｋ、ｃの関係式を求める。



（この式の左辺は３次方程式の判別式である）
この式に、分母の最大の項を掛け算する。

式(8)が求める、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係（判別式＝０となる関係）である。
（問５の解答おわり）

リンク：
3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
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