勉強しよう数学解答集: 二重根号の外し方の４つの方法

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▷二重根号の外し方（方法１）
▷二重根号の外し方（方法２）
　▷二重根号が外せない場合
　▷簡易な計算方法
　　▷簡易公式２
▷二重根号の外し方（方法３）
▷二重根号の外し方（方法４）

【問】　以下の式の二重根号を外せ。

【注意】二重根号が外せない場合については後に説明しますので、先ずは、以下の、二重根号を外せる場合の説明を読んで下さい。

【二重根号の外し方（方法１）】
先ず、

と変形し、その右側の項の形にします。右側の項を、

と仮定した数ｘとａを求めます。

（以下の計算方針では、√３という数を含んでいない数（ｘ）と（ａ）を使って表わせる場合の解だけを求める計算をします。
√３を（ｘ）か（ａ）が含まざるを得なかったら、そこで計算を終わりにする覚悟をして、以下の計算をします）

この式の両辺を二乗します。

（ｘ）と（ａ）とが√３を含んでいない数であらわされるならば、

４＝ａ・（１＋３ｘ）　　　（１）
と、

がなりたつと考えることができます。
２つ目の式を更に簡単にすると、

１＝ａ^２ｘ　　　（２）
になります。

（２）より、

（３）を（１）に代入します。

この式から、

この式４を因数分解して解くと：
（ａ－１）（ａ－３）＝０
ａ＝１　or　３

ａ＝１の場合を（３）に代入すると、
ｘ＝１
よって、

です。
（ａ＝３の場合も：ｘ＝１／９になって、それを代入すると同じ答えになります）

そのため、

になりました。

【二重根号の外し方（方法２）】
二重根号を外すもう１つの方法を説明します。
（原理について）

という形をしている２重根号は、以下の条件が成り立つ場合に外すことができます。
ａ＝ｘ＋ｙ　　　（５）
ｂ＝ｘ・ｙ　　　（６）
となるｘとｙを探します。
そのｘとｙがあれば、

　（７）
です。

となるからです。
式５と６の解のｘ、ｙを求めるということは、
ｘ^２－ａ・ｘ＋ｂ＝０　　　（８）
の解ｘ、ｙを求めることと同じです。この式８は、式４と同じ式になります。

（具体例について）
具体的な今回の以下の問題の場合は、以下のようにして解きます。

の場合は、

と変形します。
この様に、ルートの中の式は、ルートの２倍の項を含む式に変形して、答えを求めます。

を解く場合は、
（ｘ^２－４・ｘ＋３＝０　（式４）を解くのと同じですが）
ｘ＋ｙ＝　ａ＝４＝３＋１
ｘｙ＝　　　ｂ＝３＝３・１
がなりたちますので
ｘ＝３
ｙ＝１
が見つかりました。

です。
そのため、

です。
【二重根号が外せない場合】

という形をしている２重根号は、
ａ^２－４ｂの平方根の式が、その平方根記号を外せる場合は外すことができます。
ａ^２－４ｂ＝（ｘ＋ｙ）^２－４ｘｙ＝（ｘ－ｙ）^２
だからです。
　すなわち、
（ａ^２－４ｂ）の平方根＝｜ｘ－ｙ｜
であり、一方、
ａ＝ｘ＋ｙ
だったので、この２つの式からｘとｙが求められるからです。

しかし、（ａ^２－４ｂ）の平方根の式から平方根記号が外せ無いときは、先の式の二重根号を外すことができません。

【二重根号になった数のもつれをほどくだけ】
　任意のａとｂの場合を考えると、
ａ^２－４ｂの平方根の平方根記号（根号）が外れる場合はまれな場合であって、
ほとんどの場合は、その根号が外せないので、二重根号を外す事ができません。
　それでは、この方法は何の役に立つのだろうか？
という疑問がわくと思います。
　その疑問に対する答えは、以下のようなものです。
「計算のもつれによって、二重根号でない数が二重根号になる場合があります。
そのように「もつれた」数の「もつれ」をほどくだけです。」
【簡易な計算方法】
公式をすぐ導き出せるようにして公式を覚えないで良い方法を以下で示します。
ａ＝ｘ＋ｙ,　　　（５）
とした式(5)の未知数xとyを、以下の式のように未知数 z だけであらわす。すなわち、２つあった未知数をｚの１つだけにします。
ｘ＝（ａ＋ｚ）／２，
ｙ＝（ａ－ｚ）／２，
これを、

　（７）’
のｘとｙに代入してｚで表せば、

　（９）
になります。
この式９が、１つの未知数ｚだけで二重根号を外す式をあらわしています。
（この式９を覚えれば、公式は覚えないで良いと思います。）
式９の両辺を２乗して未知数ｚを求めます。

これで得られたｚを式９に代入すれば、以下の公式が得られます。

または、
《簡易公式２》

です。根号の中の式に、根号の中にｕがある項を持つので２重根号になっていた式は、根号の中の式に、根号の中にａ^２－ｕがある項を持つ式に変換できます。
二重根号を外す計算は、この公式を使って式を書き変えているだけです。
そして、
ａ^２－４ｂ（または、ａ^２－ｕ）の平方根の根号が外せる場合に限って、二重根号が外れます。

　なお、平方根の根号が外せる場合には、以下の場合の様に、無理数の２乗の数（自然数の２乗である平方数とは異なるが）になって平方根の根号が外れる場合もあります。

（蛇足）この公式により、上の式の右辺の、対になっている２つの二重根号の式は、上の式の左辺の１つの二重根号の式にまとめることができます。
　例えば、下の式では、下の式の左辺の２項を右辺の１つの項にまとめることができます。

ただし、この式の左辺を２乗すれば、すぐに右辺の式のルートの中が得られますので、この公式を覚えて使う必要はありません。

【二重根号の外し方（方法３）】
　４次方程式方の解き方が、二重根号付きの式を経て解に至る解き方と、二重根号を経ずに解が得られる解き方との、２つの解き方があることを利用して解きます。
　この方法は、４次方程式を解く計算でもつれさせてしまった答えの数を、もとの４次方程式に戻してから、答えをもつれさせない手順で４次方程式を解く方法です。