加法定理の練習問題４の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】ｘ^２－（√３）ｘ－２＝０の２つの解を、ｔａｎα，ｔａｎβとするとき、

の値を求めよ。

【解答１】
（求める答えを、より易しい答えにできないかを考える）
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

ｔａｎα，ｔａｎβが
方程式　ｘ^２－（√３）ｘ－２＝０　（式２）
の２つの解であるとき、
－（ｘの係数）：　√３＝ｔａｎα＋ｔａｎβ　（式３）
定数項：　　　　　－２＝ｔａｎαｔａｎβ　　（式４）
となる関係を思い出して使う。

つぎに、ｔａｎの加法定理を思い出す。

（ｔａｎα＋ｔａｎβ）と、ｔａｎαｔａｎβが求められれば、ｔａｎ（α＋β）が求められることを見通す。
こうしてｔａｎ（α＋β）が求められるというめどが立ったので、ｔａｎ（α＋β）を求めて、それから、（α＋β）を求めて、ｓｉｎ（α＋β）もｃｏｓ（α＋β）も求めて、それらの値を式１に代入して答えを得る
という、解答の見通しを立てます。

（ｔａｎ（α＋β）を計算する）
式３と式４を式５に代入する。

∴　（α＋β）＝π／６　または　７π／６

（１）（α＋β）＝π／６のとき
ｓｉｎ（α＋β）＝１／２　　（式６）
ｃｏｓ（α＋β）＝√３／２　（式７）
方程式６と７を式１に代入
（式１）

（２）（α＋β）＝７π／６のときｓｉｎ（α＋β）＝－１／２　　（式８）
ｃｏｓ（α＋β）＝－√３／２　（式９）
方程式８と９を式１に代入
（式１）

（解答おわり）

【解答２】 
　ｔａｎの値を使って解く問題の式は、以下の式２のように、ｃｏｓの２乗の式とｔａｎの式に変形して計算する。

ここで、ｔａｎ（α＋β）の式は以下の式３であらわされる。

ｘ^２－（√３）ｘ－２＝０の２つの解を、ｔａｎα，ｔａｎβとするので、以下の式４が成り立つ。

この式５と６を式３に代入する。

この式７を式２に代入する。

（解答おわり）

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