これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【問２】
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，２）と、Ｂ （√３，０）と、Ｏ（０，０）とする。
（解答方針）
この問題は、正弦定理を使って解くべき問題であって、余弦定理やベクトルの内積を使っては解くべきでない問題です。
ここをクリックした先にあるように正弦定理を使って解くべき問題です。
しかし、複素数平面を使う場合は、この問題を解くことができます。
以下で、複素数平面を使った解答を示します。
【解答】
Ｐ点の座標を複素数ｐであらわして、方程式を立ててｐの値を求めます。
ここで、変数ｓは実数をあらわす。
ここで変数ｔは実数をあらわす。
以上で得た方程式を以下に整理する。
この方程式７と８からｐを消去して実数変数 ｓ と ｔ2 のみを含む式を作る。
この式９の変数ｓと ｔ2 は実数である。式９の実数部と虚数部が各々０になるので以下の式１０と１１が成り立つ。
式１２で得たｓの値を式７に代入して複素数ｐを求める。
（解答おわり）
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【問１】
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，√３）と、Ｂ （１，０）と、Ｏ（０，０）とする。
（解答方針）
この問題は、正弦定理を使って解くべき問題であって、余弦定理やベクトルの内積を使っては解くべきでない問題です。
ここをクリックした先にあるように正弦定理を使って解くべき問題です。
しかし、複素数平面を使う場合は、この問題を解くことができます。
以下で、複素数平面を使った解答を示します。
【解答】
Ｐ点の座標を複素数ｐであらわして、方程式を立ててｐの値を求めます。
ここで、変数ｓは実数をあらわす。
ここで変数ｔは実数をあらわす。
以上で得た方程式を以下に整理する。
この方程式７と８からｐを消去して実数変数 ｓ と ｔ2 のみを含む式を作る。
この式９の変数ｓと ｔ2 は実数である。式９の実数部と虚数部が各々０になるので以下の式１０と１１が成り立つ。
式１２で得たｓの値を式７に代入して複素数ｐを求める。
（解答おわり）
この問題は、ベクトルを使って解こうとするととても難しい問題でした（クリックした先のページの第４の解答）が、複素数平面を使って解くと、このように易しく問題が解けるようになりました。
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【問１】
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。
【一番簡単な解き方の秘訣】
（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして（ただし、ベクトルｘは三角形の所定の辺の方向に平行。ベクトルｙはその辺に垂直な方向を向く）、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）
一方で、外心Ｏを原点にした基準ベクトルを使うと、その２つの基準ベクトルの和のベクトルが、その２つの基準ベクトルの差のベクトルに垂直になります（ひし形の対角線の直交の公式）。そのように容易に垂直なベクトルの組を作れるため、上記の場合と同様に、問題が解き易くなります。
【解答（その１）】
先ず、ベクトルｂとｃを、外心から引いたベクトルＡとＢとＣであらわす。
ひし形の対角線の直交の公式により、
が成り立つ。
式ａ１の右辺のベクトルを、その上の式に代入して計算する。
ここでベクトル（Ｂ＋Ｃ）は、上図の様に辺ＢＣに垂直であり、長さが２ｍである。
（証明おわり）
【解答（その２）】
先ず、ベクトルｂとｃを、外心から引いたベクトルＡとＢとＣであらわす。
この式を、大きさＲが等しいベクトルＡとＢとＣの内積であらわし、式を変換する。
（証明おわり）
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【問】三角形の外接円の半径Ｒを、三角形の頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃからもとめよ。
【解答】
この問題は、三角形の外接円の半径Ｒが、正弦定理で三角形の１つの角度とその角度に対向する辺に関係していることと、
三角形の頂点Ａの角度の正弦と辺ｂとｃの積が三角形の面積の２倍になることを使えば解けます。
先ず、正弦定理を思い出します。
この三角形の面積の２倍の面積Ｓの２倍が以下の式１であらわせる。
この式１のｓｉｎＡを、正弦定理を使って、外接円の半径Ｒを使った項に変換して、以下の式２を得る。
一方、三角形面積は、以下の式３の、底辺ａと高さの積であらわせる。
式３と式２を合わせて計算する。
上式のように底辺ａが消えて、
外接円の半径Ｒが、頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃであらわせた。
（解答おわり）
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上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
Ｐ点の座標を複素数ｐであらわして、方程式を立ててｐの値を求めます。
ここで、変数ｓは実数をあらわす。
ここで変数ｔは実数をあらわす。
この方程式７と８からｐを消去して実数変数 ｓ と ｔ2 のみを含む式を作る。
この式９の変数ｓと ｔ2 は実数である。式９の実数部と虚数部が各々０になるので以下の式１０と１１が成り立つ。
式１２で得たｓの値を式７に代入して複素数ｐを求める。
（解答おわり）
