2017年10月29日日曜日

角の二等分線の長さ-相似図形による定理

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を使う問題です。
【問1】(難問)
上図のように、三角形ABCの頂角Aの二等分線の長さmに間して式1が成り立つことを証明しなさい。

(注意)
 この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。

 そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

【解答】 
図の不足を埋めて以下の図を書きます。
この図を書いて
三角形ABEと三角形ADCが、2つの角度が等しく相似であることを発見しました。
そのため、「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を使い、以下の辺の比の式を書き、
その式を変形して、以下の、辺の積の式2を導き出します。

次に、以下の図のように、もう1つの相似な図形の組を発見して、
 「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を使い、以下の辺の比の式を書きます。
こうして、相似な図形の辺の比の式を書き、
その式を変形して、上の式の、辺の積の式3を導き出します。

(注意)
 この式3は「方べきの定理」と呼ばれている有名な定理ですが、このように
「相似な図形の組を発見して辺の長さの比の式を書く」
ことに帰着されます。
そのため、「方べきの定理」を覚えるよりは、
「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を覚えて使う方が良いです。

この式3を式2に代入すると、求める式1が得られます。
(証明おわり)

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