立体図形の頂点から面への垂線の長さの解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

　上図のように、直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。頂点Ｆから面ＥＢＧにひいた垂線の長さを求めよ。

（解答の方針） 
（１）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 
（２）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。

【解答１】
　この立体問題を簡単な形の、２つの平行する面に変換して解きます。

（１）上図のように、平行する面ＥＦＧＨと面ＡＢＣＤを考える。
それら２つの面と面ＥＢＧとの交線は直線ＥＧと、それに平行な直線Ｅ’Ｇ’です。
（２）次に、面ＥＦＧＨと面ＥＢＧとが共有する１本の直線ＥＧに垂直で、点Ｆを含む第２の面ＰＦＢＱを考える。
（３）第２の面ＰＦＢＱは面ＥＦＧＨ上の直線ＥＧに垂直なので面ＥＦＧＨに垂直である。また、面ＥＢＧ上の直線ＥＧに垂直なので面ＥＢＧに垂直である。

（４）そのため、上図の第２の面ＰＦＢＱと面ＥＢＧが共有する直線ＲＢに垂直な直線ＦＳが求める垂線である。
その垂線の長さＦＳが求める長さです。
　以下でその長さを計算する。
先ず、ＲＦの長さを計算する。

次に、以下の図の面ＰＦＢＱでＲＢの長さを計算した上で、ＦＳの長さを計算する。

 こうして求める垂線の長さＦＳが

で求められた。
（解答おわり）

【第２の解答】高校２年生レベル
中学数学の範囲をこえるが、
下図の様に、面ＥＢＧに垂直なベクトルｈ（面の法線ベクトル）を使って垂線の長さを求める。

この係数ｂ，ｅ，ｃを以下のように計算して求める。

（補足１）
この法線ベクトルｈの計算は、（長さの違う法線ベクトルですが）以下の様に考えた方が計算の見通しが良いと考える。

この様に、面の法線ベクトルの各成分は、面の座標軸との交点の座標の逆数で計算できる。
（補足１おわり）

（補足２）
　補足１と同じ長さの法線ベクトルについては、３次元の平面の式から、以下の計算によって、すぐに求められる。
  点Ａを原点にした、平面ＥＢＧの３次元の平面の式は、点Bと点Eを通ることを利用すれば、点Gにかかわる未知の係数ｂを使って、以下の式であらわせる。

上の計算のように、この面が点Ｇを通ることを代入すると未知の係数ｂが－３であることが求められる。こうして面ＢＥＧをあらわす式の全ての係数が求められた。その面の式の係数が作るベクトルが法線ベクトルｈになるのである。
（補足２おわり）

式５であらわした長さの法線ベクトルの長さｈを求める。

①：点Ｄと面ＡＣＨがベクトルＡＢに平行なベクトルで隔てられ、
②：面ＡＣＨと面ＥＢＧが同じベクトルＡＢに平行なベクトルで隔てられ、
③：面ＥＢＧと点Ｆが同じベクトルＡＢに平行なベクトルで隔てられているのでそれぞれの間隔が同じである。
　よって、求める垂線の長さは、ベクトルＤＦを法線ベクトルｈに射影した長さの３分の１である。
　そのため、法線ベクトルｈをその長さｈで割り算して単位ベクトルにした法線ベクトルとベクトルＤＦの内積の３分の１を計算する事で垂線の長さを計算する。
ベクトルＤＦは以下の式７であらわせる。

この長さが頂点Ｆから面ＥＢＧにひいた垂線の長さである。
（解答おわり） 

【第２の解答の別解（途中から）】
垂線の長さは、単位ベクトルにした法線ベクトルとベクトルEＦの内積を計算する事で求められる。
よって、式６の後は、以下の計算をすることで垂線の長さが求められる。

 （解答おわり）

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