（５）複素数平面での軌跡

このページはここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１＋ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問２】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１／（１＋ｉ・ｔ）　（式２）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

（解答）

【問１の解】
式１の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝１の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問２の解】
式２の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝０とｚ＝１とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、ｚ＝０の点は通らない。

それを以下で証明する。
（証明開始）
ｚは、 ｚをあらわす複素数平面での点Ｃに関して、
｜ｚ｜＝線分ＯＣ＝１／｜（１＋ｉ・ｔ）｜＝１／線分ＯＡ
であるから、
ＯＣ／ＯＢ＝ＯＢ／ＯＡ
であり、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの辺の長さが△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡから同じ比で縮小されている。
また、
ａｒｇ（ｚ）＝－∠ＢＯＣ＝－ａｒｇ（１＋ｉ・ｔ）＝－∠ＡＯＢ
であるから、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの間の角が、△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡの間の角と等しい。
∴　△ＢＯＣ∽△ＡＯＢ
そのため、
∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＡ＝∠Ｒ＝９０度
∠ＯＣＢは常に９０度なので、
Ｃ点は、ＯＢを直径とする円周上にある。
ただし、式２のｚは０では無いので、ｚ＝０の点は通らない。
（証明おわり）

（別解）
以下のようにして証明することもできる。

（注意）上のようにｔの値にかかわらず｜分子／分母｜＝１となる式、（１－ｉ・ｔ）／（１＋ｉ・ｔ）を作ることがポイント。
よって、

よって、
｜ｚ－（１／２）｜＝１／２
よって、ｚは、値（１／２）を中心にする、半径（１／２）の円上にある。
ただし、ｚは０では無いので、値０にはならない。
（証明おわり）

【一番簡単な方法】
　ここをクリックした先に、（ｉｔ）単体をｚの式であらわして、そのｚの式に（ｉｔ）単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
　
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