ベクトルの問題は図形を描いて解くこと

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　平面上の３つのベクトル

が、

を満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。

を、

を用いて表せ。
（問題おわり）

《解答方針》
　ベクトルの問題は、本質的には、ベクトルという表現手段を使った図形の問題です。
そのため、ベクトルの問題を解く定石は、図を描いて問題を解きます。
　ベクトルの式の演算で解くよりは、図形の定理を使って解を導く方が計算間違いが少ない良い解き方です。

　この問題では、大きな紙に、ベクトルｃを直径とする円を描いて、その図に以下の様にしてベクトルaとベクトルｂを書き込んで行って図を完成させて問題を解く。

【解答】

先ず、大きな紙にベクトルｃを直径とする円を描いて、ベクトルの始点を０とし終点をＣとする。

直線ＯＣを水平線にして描く。
その円周上に、点Ｏからの距離√pの位置に点Ａを置き、

とする。
三角形ＯＡＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
また、
円周上に、点Ｏからの距離√qの位置に点Ｂを置き、

とする。
三角形ＯＢＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
（場合１）上図では、水平線ＯＣの上と下との円周上に点ＡとＢを置いた。
これを場合１とする。

（場合２）下図では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。
これを場合２とする。

場合２の問題では、後に説明するように、補助線を引いて、平行四辺形ＯＢＡＤを描いて解く。

（場合１）

　ベクトルａとｂが直交する場合を解く。ベクトルｂはベクトルＡＣと等しい。
よって、ベクトルａとｂが垂直な場合では、

が成り立つ。
（場合１の解おわり）

（場合２）

　場合２の問題では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。ベクトルａとｂは垂直ではない。
　そのように作図すると、ベクトルＢＡが水平線ＯＣに平行になる。それは、ベクトルａの、ベクトルｃに垂直な成分の大きさが、ベクトルｂでのその成分と同じ大きさであることを意味する。そのため、補助線を引いて平行四辺形ＯＢＡＤを描くと、ベクトルＢＡに平行なベクトルＯＤが、ベクトルＯＣに平行になる。
そのため、以下の計算で、ベクトルＯＤの長さを求める。

この値の逆数でベクトルＯＤをベクトルＯＣの長さまで拡大することでベクトルｃが得られる。
よって、ベクトルａとｂが垂直で無い場合に、

が成り立つ。
（場合２の解おわり）

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