内点のベクトル方程式から三角形の辺の長さを得る

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【問１】
　以下の図のように、３つの単位ベクトルＰＡ，ＰＢ，ＰＣが以下の式１を満足するとき、点Ａ，Ｂ，Ｃを頂点とする三角形ＡＢＣの各辺ａ，ｂ，ｃの長さを求めよ。


【解答】
　この三角形ＡＢＣとその内部の点Ｐに係る各部の角度に以下の名前を付けて定義する。

辺ＢＣ＝ａを、以下の計算によって求める。

辺ＣＡ＝ｂを以下の計算によって求める。

辺ＡＢ＝ｃを以下の計算によって求める。

以上の計算によって、辺ａ，ｂ，ｃが以下の通り求められた。

（解答おわり）

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アポロニウスの円の問題

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【問題】
　以下の式を満足する複素数ｚが複素数平面上で描くグラフを求めよ。


【解答１】
　複素数平面での点ｚの描くグラフの問題は、図形の問題として解くのが定石です。上の式は以下の式にして、点からの距離の比と下の式を対応付けて覚えた方が良いと思います。


　２点Ａ（α）とＢ（β）からの距離の比がｍ：ｎになる点は、アポロニウスの円を描くことが知られている。
そのため、ここをクリックした先のサイトの解答のように、この問題をアポロニウスの円を描く問題として解答する。
すなわち、点ｚは、線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点と外分する点を直径の両端とする円を描く。


　線分ＡＢの内分点と外分点が成す円の直径の中心、すなわち円の中心の位置を以下で計算する。

　次に、円の半径をあらわすベクトルを計算する。

以上の結果より、求めるアポロニウスの円の式は以下の式になる。

（解答１おわり）

【解答２】
　この問題は、解答１のようにアポロニウスの円の図形の問題として解くのが無難です。しかし、どうしても複素数の式の計算をして解答したい場合は、以下の公式を使います。


その公式を使って、以下のように計算します。

　問題の式を以下のように順次に変換する。

この式に対して、先の公式を使って、絶対値の２乗の差の式に変換する計算をする。

この式の第２項以降の式は以下の式に変換できる。

よって、先の式は以下の式になる。

この式は、複素数平面上での円の式である。
（解答２おわり）

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放物線の２つの接線が４５°で交わる交点の軌跡

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2008 年 筑波大学（前期）　【大問６】

【難問】放物線 C : ｙ＝ｘ^２ 上の異なる 2 点 P(t, t²); Q(s, s²) （s＜t） における接線の交点を R(X, Y) とする．
(1) X, Y を t, s を用いて表せ．
(2) 点 P, Q が ∠PRQ = π/4 を満たしながら C 上を動くとき，点 R は双曲線上を動くことを示し，かつ，その双曲線の方程式を求めよ．


【解答】
放物線の接線の傾きｙ’は微分で求められる以下の式（２）であらわせる。
ｙ’＝２ｘ　（式２）
　そのため、接点Ｑで接する接線の式が以下の式（３）であらわせ、接点Ｐで接する接線の式が以下の式（４）であらわせる。それらの接線が点Ｒ（Ｘ，Ｙ）を通るので、その座標Ｘ；Ｙでそれらの式をあらわす。


式(5)と(6)で、Ｘ；Ｙをｓとｔであらわした、

式３の接線と式４の接線がπ／４＝４５°で交わる条件は、ベクトルＲＰとベクトルＲＱが４５°を成すことである。そのためベクトルを求めて、その内積を計算する。

この２つのベクトルの内積の式を計算する。

この式（９）が成り立つために、上記の式（１０）の条件が必要である。

この式（９）を以下のように変形する。

この式を式（５）と式（６）を代入して変形する。

交点Ｒ（Ｘ，Ｙ）は、この式（１４）で表される放物線上にある。
（解答おわり）

《補足》
「点Rは双曲線上を動く」という問題の意味は、
得られた双曲線の全ての枝の上を動くわけではなく、

の条件を満足する、双曲線の下の枝の上だけを動く。
以下では、その枝の点Ｒ（Ｘ，Ｙ）の座標に対応する接点ＰとＱのｘ座標のｔとｓを与える式を求める。

式（５）と式（６）から、ｔとｓを解にする２次方程式が式（１６）で得られる。

この式（１７）と式（１４）から以下の式が得られる。

こうして、ｔをＸとＹの式（１９)であらわした。
この式（１９）を式（５）に代入してｓをあらわす式（２０）を得る。

　この式（１９）と式（２０）により、双曲線の下の枝の全ての点Ｒ（Ｘ，Ｙ）の座標に対応する接点ＰとＱのｘ座標のｔとｓが存在した。
　このため、点Ｒの軌跡は、双曲線の下の枝の全ての点を通る。

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放物線の直交接線の交点の軌跡
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放物線の直交接線の交点の軌跡

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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝ｘ^２　（式１）
について、互いに直交する２つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。



（解答の方針）
放物線の接線の傾きｙ’は微分で求められる。
ｙ’＝２ｘ　（式２）
１つの接点をＡ（ａ，ｂ）とすると、
接線の式は、
ｙ－ｂ＝２ａ（ｘ－ａ）
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式３）
もう１つの接点をＢ（ｃ、ｄ）とすると、
接線の式は、
ｙ－ｄ＝２ｃ（ｘ－ｃ）
ｙ－ｃ^２＝２ｃ（ｘ－ｃ）　（式４）
式３の接線と式４の接線が直交する条件は、
（２ａ）（２ｃ）＝－１　（式５）

また、式３の接線と式４の接線の交点をＱ（ｘ，ｙ）とすると、
式３と式４の連立方程式が得られる。
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式３）
ｙ－ｃ^２＝２ｃ（ｘ－ｃ）　（式４）
この連立方程式と、接点の交差をあらわす式５とで全ての条件があらわされる。
（２ａ）（２ｃ）＝－１　（式５）

これらの式３～５は３つの式であるから、未知数を２つ消去した１つの式を作ることができる。
未知数ａとｃを消去すれば、残るのはｘとｙだけにかかわる式であり、
その式は曲線か直線のグラフをあらわす。
その式は、ａとｃがどう変化してもいつも変わらず成りたつ、ｘとｙの関係である。

そのため、式３の接線と式４の接線の交点（ｘ，ｙ）は、その式があらわすグラフ上の点である。

実際に、そのグラフの計算方法を考える。

【注意点】
式３はａに関する二次関数であり、式４もｃに関する二次関数であり複雑な式である。
このまま計算すれば、計算が複雑になると予測される。
そのため、工夫する必要がある。

【工夫点】
式３はａに関する式であるが、それは、ｃを求めるための式（解ｔ＝ａ，ｃ）でもあると解釈する。
ｙ－ｔ^２＝２ｔ（ｘ－ｔ）
ｔ^２－２ｔｘ＋ｙ＝０
ｔ^２－２ｔｘ＋ｙ＝（ｔ－ａ）（ｔ－ｃ）＝０　（式６）

そして、式３のｔの解のａとｃとの間には、式５の関係があると考える。
すなわち、式６の２つの解ａとｃの積は、式５から
ａｃ＝－１／４
式６の根と係数の関係から、
ｙ＝ａｃ＝－１／４　（式７）

よって、式６は、
ｔ^２－２ｔｘ－１／４＝０
ｔ^２－１／４＝２ｔｘ
ｔ－１／（４ｔ）＝２ｘ
ｘ＝（１／４）｛２ｔ－１／（２ｔ）｝
ｘ＝（１／４）｛２ｃ－１／（２ｃ）｝　（式８）

よって、式７から、直交接線の交点Ｑ（ｘ，ｙ）は、式７であらわされる直線上にあり、そのｘ座標は式８であらわされる。

このように、解答の方針を考えているうちに解答が出来上がってしまった。
そのため、以上を、解答とする。
（解答おわり）

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