放物線の直交接線の交点の軌跡

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝ｘ^２　（式１）
について、互いに直交する２つの接線の交点は定直線上にあることを証明せよ。



（解答の方針）
放物線の接線の傾きｙ’は微分で求められる。
ｙ’＝２ｘ　（式２）
１つの接点をＡ（ａ，ｂ）とすると、
接線の式は、
ｙ－ｂ＝２ａ（ｘ－ａ）
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式３）
もう１つの接点をＢ（ｃ、ｄ）とすると、
接線の式は、
ｙ－ｄ＝２ｃ（ｘ－ｃ）
ｙ－ｃ^２＝２ｃ（ｘ－ｃ）　（式４）
式３の接線と式４の接線が直交する条件は、
（２ａ）（２ｃ）＝－１　（式５）

また、式３の接線と式４の接線の交点をＱ（ｘ，ｙ）とすると、
式３と式４の連立方程式が得られる。
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式３）
ｙ－ｃ^２＝２ｃ（ｘ－ｃ）　（式４）
この連立方程式と、接点の交差をあらわす式５とで全ての条件があらわされる。
（２ａ）（２ｃ）＝－１　（式５）

これらの式３～５は３つの式であるから、未知数を２つ消去した１つの式を作ることができる。
未知数ａとｃを消去すれば、残るのはｘとｙだけにかかわる式であり、
その式は曲線か直線のグラフをあらわす。
その式は、ａとｃがどう変化してもいつも変わらず成りたつ、ｘとｙの関係である。

そのため、式３の接線と式４の接線の交点（ｘ，ｙ）は、その式があらわすグラフ上の点である。

実際に、そのグラフの計算方法を考える。

【注意点】
式３はａに関する二次関数であり、式４もｃに関する二次関数であり複雑な式である。
このまま計算すれば、計算が複雑になると予測される。
そのため、工夫する必要がある。

【工夫点】
式３はａに関する式であるが、それは、ｃを求めるための式（解ｔ＝ａ，ｃ）でもあると解釈する。
ｙ－ｔ^２＝２ｔ（ｘ－ｔ）
ｔ^２－２ｔｘ＋ｙ＝０
ｔ^２－２ｔｘ＋ｙ＝（ｔ－ａ）（ｔ－ｃ）＝０　（式６）

そして、式３のｔの解のａとｃとの間には、式５の関係があると考える。
すなわち、式６の２つの解ａとｃの積は、式５から
ａｃ＝－１／４
式６の根と係数の関係から、
ｙ＝ａｃ＝－１／４　（式７）

よって、式６は、
ｔ^２－２ｔｘ－１／４＝０
ｔ^２－１／４＝２ｔｘ
ｔ－１／（４ｔ）＝２ｘ
ｘ＝（１／４）｛２ｔ－１／（２ｔ）｝
ｘ＝（１／４）｛２ｃ－１／（２ｃ）｝　（式８）

よって、式７から、直交接線の交点Ｑ（ｘ，ｙ）は、式７であらわされる直線上にあり、そのｘ座標は式８であらわされる。

このように、解答の方針を考えているうちに解答が出来上がってしまった。
そのため、以上を、解答とする。
（解答おわり）

リンク：
放物線の２つの接線が４５°で交わる交点の軌跡
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