放物線の２つの接線が４５°で交わる交点の軌跡

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

2008 年 筑波大学（前期）　【大問６】

【難問】放物線 C : ｙ＝ｘ^２ 上の異なる 2 点 P(t, t²); Q(s, s²) （s＜t） における接線の交点を R(X, Y) とする．
(1) X, Y を t, s を用いて表せ．
(2) 点 P, Q が ∠PRQ = π/4 を満たしながら C 上を動くとき，点 R は双曲線上を動くことを示し，かつ，その双曲線の方程式を求めよ．


【解答】
放物線の接線の傾きｙ’は微分で求められる以下の式（２）であらわせる。
ｙ’＝２ｘ　（式２）
　そのため、接点Ｑで接する接線の式が以下の式（３）であらわせ、接点Ｐで接する接線の式が以下の式（４）であらわせる。それらの接線が点Ｒ（Ｘ，Ｙ）を通るので、その座標Ｘ；Ｙでそれらの式をあらわす。


式(5)と(6)で、Ｘ；Ｙをｓとｔであらわした、

式３の接線と式４の接線がπ／４＝４５°で交わる条件は、ベクトルＲＰとベクトルＲＱが４５°を成すことである。そのためベクトルを求めて、その内積を計算する。

この２つのベクトルの内積の式を計算する。

この式（９）が成り立つために、上記の式（１０）の条件が必要である。

この式（９）を以下のように変形する。

この式を式（５）と式（６）を代入して変形する。

交点Ｒ（Ｘ，Ｙ）は、この式（１４）で表される放物線上にある。
（解答おわり）

《補足》
「点Rは双曲線上を動く」という問題の意味は、
得られた双曲線の全ての枝の上を動くわけではなく、

の条件を満足する、双曲線の下の枝の上だけを動く。
以下では、その枝の点Ｒ（Ｘ，Ｙ）の座標に対応する接点ＰとＱのｘ座標のｔとｓを与える式を求める。

式（５）と式（６）から、ｔとｓを解にする２次方程式が式（１６）で得られる。

この式（１７）と式（１４）から以下の式が得られる。

こうして、ｔをＸとＹの式（１９)であらわした。
この式（１９）を式（５）に代入してｓをあらわす式（２０）を得る。

　この式（１９）と式（２０）により、双曲線の下の枝の全ての点Ｒ（Ｘ，Ｙ）の座標に対応する接点ＰとＱのｘ座標のｔとｓが存在した。
　このため、点Ｒの軌跡は、双曲線の下の枝の全ての点を通る。

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