勉強しよう数学解答集: ベクトルで楕円の２つの接線の交点を求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

　原点Ｏを中心にするX軸方向の半径をａとしＹ軸方向の半径をｂとする楕円に対して、
その楕円上の点Ａ（ｘ₁，ｙ₁）から引いた接線と、
点Ｂ（ｘ₂，ｙ₂）から引いた接線の交点Ｐ（ｘ，ｙ）の位置ベクトルを求めよ。

【解１】
楕円の方程式と接線の方程式を、ベクトルの内積の方程式に変換する。

これらのベクトルは、以下の図の関係にある。

ここで、以下の式が成り立つ。

また、ひし形の対角線の直交の公式から、以下の式が成り立つ。

この係数ｋを以下の計算で求めて、点Ｐ’の位置ベクトルを求める。

これから、点Ｐの位置ベクトルを求める。

（解１おわり）

（補足）
　こうして、解１によって、楕円の２接線の交点（極点Ｐ）の位置座標がベクトルの計算によって求められた。この計算を楕円の方程式から直に計算していくと、点Ｐの位置座標は求められはするが、この解の形とは異なる形の式であらわされる解が求められる。その解からは、点Ｐの位置が直線ＯＭ上にあることが直ぐには分からない。その解は、円の極の座標の解の変換の処理をして式の形を変換する必要がある。極点Ｐの解を求めるのは、点Ｐの位置が直線ＯＭ上にあることが直ぐに分かる形の式が最初に得られるので、以上のベクトルの計算をすることが望ましい。

　以下では、実際に楕円の方程式から直に計算すると、どのような計算になるかを、解２で示す。その計算において、その解の変換処理には、２重平行四辺形の面積の公式を使うかわりに、ひし形の対角線のベクトル変換の公式を使って、解の形を直接的に変換する。

【解２】