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【問１】
平面上のベクトルａ，ｂ，ｃの大きさが：
であり、以下の式(1)を満足する場合、
このときベクトルａとｂの内積の最小値と最大値を求めよ。
《問題の本質》
「内点のベクトル方程式から三角形の辺の長さを得る」問題では、ベクトル方程式のベクトルの個数が３つだけだったので、各ベクトルの内積の値が確定した。その理由は、未知数である内積の数が３つあるのに対する内積にかかわる方程式が３つ作れたからである。しかし、この問題は、４つのベクトルのベクトル方程式に係る問題である。そして、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。すなわち、方程式の数が未知数の数より１つ少ないため、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。
【解１】
この解１は最初に考えた解ですが、後に書いた解３の解法を思い付けずに迷い道に入り込んで、やっとのことで解にたどりついた、迷子になった記録です。解１では、未知数である６つの内積に対して、４つの方程式しか無いという間違った認識がある。正しくは、５つの方程式がある。そのため、計算の迷い道に入り込んだ。この解は読まずに、解２以降を参考にすると良いと思います。
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
先ず、この式(5)から、ベクトルＡの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＢの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＣの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＰの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
以上で求めた４つの方程式(7)(9)(11)(12)のうち、式(9)に注目する。
この式(13)は、単位ベクトルＡとＣの和の合成ベクトルとベクトルＰの内積を計算する式である。
ここで、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルは、ＡとＣの和のベクトルに直交する、ひし形の対角線の直交の公式が成り立つ。そのため、ベクトルＰは式(14)のように、その直交ベクトル系の成分に分解できる。そして、ベクトルＰの絶対値の二乗が式(15)で与えられ、その式を変形すると式(16)が成り立つ。
以下では、この式(16)の項に代入する式(13)と対になる、もう１つの式を求める。すなわち、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルとベクトルＰの内積の式(17)を求める。
この式(17)のベクトルＢとＣの内積を、ベクトルＡとＣの内積の式に置き換える。
ここで、求めるべきベクトルＡとＢの内積の式を未知数ｘに置き換えてあらわし、ベクトルＡとＣの内積の式は変数ｔに置き換えてあらわす。
以上で求めたベクトルＰの直交ベクトルの方向成分の項の式(18)と式(13)を式(16)に代入する。
この式(20)を変形して、未知数ｘを変数ｔであらわす。
（関数ｆ(ｔ)の微分の計算）
後で利用するために、関数ｆ(ｔ)のｔによる微分を計算しておく。
（関数ｆ(ｔ)の概形の把握）
関数ｆ(ｔ)は、－(8t-1)(2t+1)に近い形であって、それを変形した、上に凸な形をしている。その形は、ｔ軸上のｔ＝－１/２の点と、ｔ＝１/８の点を直径の両端とする楕円に似た形である。
（場合１）
この場合の関数１０ｘが最大になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝０の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。
（場合２）
この場合の関数１０ｘが最小になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝－２／５の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。
以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解１おわり）
【解２】
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
ベクトル群がこの式(5)を満足している場合に、ベクトルＡとＢの内積は最大値になる極値と最小値になる極値を持つ。
ベクトルＡとベクトルＢの内積の値が極値を持つ場合には、ベクトル群の各ベクトルを微小量変化させた場合に、ベクトルＡとＢの相対位置は、その微小量の２次の微小量しか変化しない。すなわち、他のベクトルが変化する微小量に比べて十分に小さい量しか変化しない。
その状態において、固定したベクトルＡとＢの位置を基準にして、他のベクトルＣとＰが微小変化する様子を考える。
ベクトルＰはベクトルＰに垂直方向の微小量が変化する。それにともない、ベクトルＣもベクトルＣに垂直方向に微小量で変化する。そのベクトルＰの微小変化とベクトルＣの微小変化は、式(5)を満足するために、互いに打ち消し合う。
それらの微小変化が互いに打ち消し合うために、ベクトルＰとベクトルＣが平行か反平行でなければならない。
その２つの場合を図示すると以下の２つの図になる。
（場合１）
（場合２）
この場合１と場合２では、ベクトルＡとＢの内積は以下の式で計算できる。
（場合１）
（場合２）
以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解２おわり）
【解３】
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
この式(5)を以下の式に変形して計算する。
この式のベクトルＡとＢの内積の最大値と最小値を与えるベクトルCとベクトルＰの関係が存在する。すなわち、両ベクトルが平行になる場合と、反平行になる場合が、式(5)を満足する解として存在する。よって、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解３おわり）
《補足１》
ここで、以上の計算を、逆に、ベクトルCとベクトルPの内積の最大値と最小値を、ベクトルＡとＢの内積の大きさから求めることはできない。なぜならば、ベクトルＡとＢの両ベクトルが平行な場合は式(5)を満足せず、両ベクトルが反平行な場合も式(5)を満足しない。そのため、ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲がわからないからである。
ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲は、解３の計算のように、ベクトルＣとベクトルＰの内積の大きさの範囲（－１から１までのフル範囲）を使って求めるものである。
《補足２》
ベクトルの内積の全貌を俯瞰すると、以下の５つの種類の方程式が作れる。
この問題では、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。この認識が重要である。そして、この問題では、方程式の数が未知数の数より１つ少なく、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。
《自力で問題を解くべき》
補足２の知識が無かった視野の狭さが、解１の迷い道に進んだ原因だった。自力で問題を解き、自分の解き方を分析して、以上の補足１と補足２の知識を見いだして覚えることが、数学を学ぶ秘訣だと思う。
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【問１】
平面上のベクトルａ，ｂ，ｃの大きさが：
であり、以下の式(1)を満足する場合、
このときベクトルａとｂの内積の最小値と最大値を求めよ。
《問題の本質》
「内点のベクトル方程式から三角形の辺の長さを得る」問題では、ベクトル方程式のベクトルの個数が３つだけだったので、各ベクトルの内積の値が確定した。その理由は、未知数である内積の数が３つあるのに対する内積にかかわる方程式が３つ作れたからである。しかし、この問題は、４つのベクトルのベクトル方程式に係る問題である。そして、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。すなわち、方程式の数が未知数の数より１つ少ないため、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。
【解１】
この解１は最初に考えた解ですが、後に書いた解３の解法を思い付けずに迷い道に入り込んで、やっとのことで解にたどりついた、迷子になった記録です。解１では、未知数である６つの内積に対して、４つの方程式しか無いという間違った認識がある。正しくは、５つの方程式がある。そのため、計算の迷い道に入り込んだ。この解は読まずに、解２以降を参考にすると良いと思います。
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
先ず、この式(5)から、ベクトルＡの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＢの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＣの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
次に、ベクトルＰの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。
以上で求めた４つの方程式(7)(9)(11)(12)のうち、式(9)に注目する。
この式(13)は、単位ベクトルＡとＣの和の合成ベクトルとベクトルＰの内積を計算する式である。
ここで、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルは、ＡとＣの和のベクトルに直交する、ひし形の対角線の直交の公式が成り立つ。そのため、ベクトルＰは式(14)のように、その直交ベクトル系の成分に分解できる。そして、ベクトルＰの絶対値の二乗が式(15)で与えられ、その式を変形すると式(16)が成り立つ。
以下では、この式(16)の項に代入する式(13)と対になる、もう１つの式を求める。すなわち、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルとベクトルＰの内積の式(17)を求める。
この式(17)のベクトルＢとＣの内積を、ベクトルＡとＣの内積の式に置き換える。
ここで、求めるべきベクトルＡとＢの内積の式を未知数ｘに置き換えてあらわし、ベクトルＡとＣの内積の式は変数ｔに置き換えてあらわす。
以上で求めたベクトルＰの直交ベクトルの方向成分の項の式(18)と式(13)を式(16)に代入する。
この式(20)を変形して、未知数ｘを変数ｔであらわす。
（関数ｆ(ｔ)の微分の計算）
後で利用するために、関数ｆ(ｔ)のｔによる微分を計算しておく。
（関数ｆ(ｔ)の概形の把握）
関数ｆ(ｔ)は、－(8t-1)(2t+1)に近い形であって、それを変形した、上に凸な形をしている。その形は、ｔ軸上のｔ＝－１/２の点と、ｔ＝１/８の点を直径の両端とする楕円に似た形である。
（場合１）
この場合の関数１０ｘが最大になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝０の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。
（場合２）
この場合の関数１０ｘが最小になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝－２／５の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。
以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解１おわり）
【解２】
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
ベクトル群がこの式(5)を満足している場合に、ベクトルＡとＢの内積は最大値になる極値と最小値になる極値を持つ。
ベクトルＡとベクトルＢの内積の値が極値を持つ場合には、ベクトル群の各ベクトルを微小量変化させた場合に、ベクトルＡとＢの相対位置は、その微小量の２次の微小量しか変化しない。すなわち、他のベクトルが変化する微小量に比べて十分に小さい量しか変化しない。
その状態において、固定したベクトルＡとＢの位置を基準にして、他のベクトルＣとＰが微小変化する様子を考える。
ベクトルＰはベクトルＰに垂直方向の微小量が変化する。それにともない、ベクトルＣもベクトルＣに垂直方向に微小量で変化する。そのベクトルＰの微小変化とベクトルＣの微小変化は、式(5)を満足するために、互いに打ち消し合う。
それらの微小変化が互いに打ち消し合うために、ベクトルＰとベクトルＣが平行か反平行でなければならない。
その２つの場合を図示すると以下の２つの図になる。
（場合１）
（場合２）
この場合１と場合２では、ベクトルＡとＢの内積は以下の式で計算できる。
（場合１）
（場合２）
以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解２おわり）
【解３】
先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。
この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。
この式(5)を以下の式に変形して計算する。
この式のベクトルＡとＢの内積の最大値と最小値を与えるベクトルCとベクトルＰの関係が存在する。すなわち、両ベクトルが平行になる場合と、反平行になる場合が、式(5)を満足する解として存在する。よって、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解３おわり）
《補足１》
ここで、以上の計算を、逆に、ベクトルCとベクトルPの内積の最大値と最小値を、ベクトルＡとＢの内積の大きさから求めることはできない。なぜならば、ベクトルＡとＢの両ベクトルが平行な場合は式(5)を満足せず、両ベクトルが反平行な場合も式(5)を満足しない。そのため、ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲がわからないからである。
ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲は、解３の計算のように、ベクトルＣとベクトルＰの内積の大きさの範囲（－１から１までのフル範囲）を使って求めるものである。
《補足２》
ベクトルの内積の全貌を俯瞰すると、以下の５つの種類の方程式が作れる。
この問題では、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。この認識が重要である。そして、この問題では、方程式の数が未知数の数より１つ少なく、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。
《自力で問題を解くべき》
補足２の知識が無かった視野の狭さが、解１の迷い道に進んだ原因だった。自力で問題を解き、自分の解き方を分析して、以上の補足１と補足２の知識を見いだして覚えることが、数学を学ぶ秘訣だと思う。
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