これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
《円順列を計算する上での基本的考え方》
人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。
【問１】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【解１】
人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
円卓の５個の席のうち、２つの空席が隣り合わない席の配置のパターンの数は、以下の図の空席を表す黒丸と人を表す赤丸の配置のパターンであり、５個のパターンがある。
この５通りのパターン毎に、３人が３！＝６通りの配置に座るので、
人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解１おわり）
【解２】
人１，人２，人３の右回りの並びの間と３人の並びの前後の２か所との何れかの位置に１つづつで、２つの空席を配置する。ただし、２つの空席が、３人の並びの先頭と最後尾とに配置する場合は除外する。そのような空席の配置のバラエティの数は、
ある。
一方で、人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
よって、人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解２おわり）
【解３】
人１，人２，人３を円卓に並べた人と人の間の３つの間の何れかに、２つの空席を１つづつ配置すれば空席が隣り合わず人の人との間に空席を配置するバラエティの数はその空席の並び方の数、
である。しかし、そのように空席を人と人の間に配置しても、人を円卓の５つの席に配置しているわけでは無く、人は３つの席に配置している状態に留まっている。３つの席に配置した人と人との間に空席予定の玉●を置いた、人と玉との配置のバラエティの数を表しているに過ぎない。
この配置の数は、３つの席に配置された人と玉●との全てのバラエティである。その回転のバラエティは３である。
その全てのバラエティから回転のバラエティを無くすために、この配置の数を３分の１にする。
それは、人が席に座る回転のバラエティを無くした配置の数（いわば、円順列の数）である。
その円順列の３人と２つの玉●を、円卓の５つの席に配置する。そして、５つの席の人と玉●とを隣の席に１つづつ移す回転をさせることで、５つの席に配置する全ての配置のバラエティを計算する。その回転のバラエティを持たせるために、この配置の数を５倍する。
それは、５つの席に人と玉●を置く全てのバラエティの数になる。
すなわち、円卓の席５つに、３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は、全部で、
通りある。
（解３おわり）
【問１ｂ】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【解答】
３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
（そのパターンを円卓の回りに回転させると、固定した円卓に対して５つの配置ができるが、それら５つは同じ１つ円順列である。）
その１つの円順列の配置パターンに３人を配置するバラエティは
３！＝６
である。
よって、求める円順列の数は、
３！＝６
である。
（解答おわり）
【問２】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【解１】
３人の人が、３つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
そのパターンを円卓の回りに回転させると、その配置パターンを１回転する間に、３回、同じ配置パターンになる。
これは、この空席の配置パターンの回転対称数が３であることを意味する。
その配置パターンを１回転する間に、席が６回変わるが、その６回の変化を回転対称数３で割り算した値の２が、 １つの空席の配置パターンの円順列を回転させたときにできる、固定した円卓に対しては異なる２個の空席の配置パターンの数をあらわす２である。
すなわち、円卓の６個の席のうち、３つの空席が互いに隣り合わない席の配置のパターンの数は、上の図の空席を表す黒丸と人を表す赤丸の配置のパターンであり、２個のパターンがある。
一方で、人１，人２，人３の、人用の席への、右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
そのため、得られた２個の配置パターン毎に、３人が３！＝６通りの配置に座るので、
人の配置の数は全部で、
２×６＝１２
通りある。
（解１おわり）
【解２】
人１，人２，人３の右回りの並びの間と３人の並びの前後の２か所との何れかの位置に１つづつで、２つの空席を配置する。ただし、２つの空席が、３人の並びの先頭と最後尾とに配置する場合は除外する。そのような空席の配置のバラエティの数は、
ある。
一方で、人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
よって、人の配置の数は全部で、
２×６＝１２
通りある。
（解２おわり）
【解３】
人１，人２，人３を円卓に並べた人と人の間の３つの間に３つの空席を１つづつ配置すれば空席が互いに隣り合わず人の人との間に空席を配置するバラエティの数は、
である。しかし、そのように空席を人と人の間に配置しても、人を円卓の６つの席に配置しているわけでは無く、人は３つの席に配置している状態に留まっている。３つの席に配置した人と人との間に空席予定の玉●を置いた、人と玉との配置のバラエティの数を表しているに過ぎない。
この配置の数は、３つの席に配置された人と玉●との全てのバラエティである。その回転のバラエティは３である。
その全てのバラエティから回転のバラエティを無くすために、この配置の数を３分の１にする。
それは、人が席に座る回転のバラエティを無くした配置の数（いわば、円順列の数）である。
その円順列の３人と３つの玉●を、円卓の６つの席に配置する。そして、６つの席の人と玉●とを隣の席に１つづつ移す回転をさせることで、６つの席に配置する全ての配置のバラエティを計算する。その回転のバラエティを持たせるために、この配置の数を６倍する。
それは、６つの席に人と玉●を置く全てのバラエティの数になる。
すなわち、円卓の席６つに、３人の人が、３つの空席が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は、全部で、
通りある。
（解３おわり）
【問２ｂ】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【解答】
３人の人が、３つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
そのパターンを円卓の回りに回転させると、その配置パターンを１回転する間に、３回、同じ配置パターンになる。
これは、この空席の配置パターンの回転対称数が３であることを意味する。
（なお、空席の配置パターンの円順列を１回転させるには席を６回変えることになるが、その６回の変化を回転対称数３で割り算した値の２が、 １つの空席の配置パターンの円順列を回転させたときにできる、固定した円卓に対しては異なる空席の配置パターンの数の２である。）
ここで、１つの空席の円順列の配置パターンに３人を配置するバラエティは、
３！＝６
である。
しかし、空席の配置パターンの回転対称数が３であるので、３人を固定した席に配置するバラエティの数の６には、空席の円順列のパターンの回転対称数３の重複がある。
そのため、固定した席に３人を配置するバラエティの数６をその回転対称数３で割り算した値が人の配置の円順列の数になる。
よって、求める人の配置の円順列の数は、
３！／３＝２
である。
（解答おわり）
場合の数と確率
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《円順列を計算する上での基本的考え方》
人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。
【問１】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【解１】
人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
円卓の５個の席のうち、２つの空席が隣り合わない席の配置のパターンの数は、以下の図の空席を表す黒丸と人を表す赤丸の配置のパターンであり、５個のパターンがある。
この５通りのパターン毎に、３人が３！＝６通りの配置に座るので、
人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解１おわり）
【解２】
人１，人２，人３の右回りの並びの間と３人の並びの前後の２か所との何れかの位置に１つづつで、２つの空席を配置する。ただし、２つの空席が、３人の並びの先頭と最後尾とに配置する場合は除外する。そのような空席の配置のバラエティの数は、
ある。
一方で、人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
よって、人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解２おわり）
【解３】
人１，人２，人３を円卓に並べた人と人の間の３つの間の何れかに、２つの空席を１つづつ配置すれば空席が隣り合わず人の人との間に空席を配置するバラエティの数はその空席の並び方の数、
である。しかし、そのように空席を人と人の間に配置しても、人を円卓の５つの席に配置しているわけでは無く、人は３つの席に配置している状態に留まっている。３つの席に配置した人と人との間に空席予定の玉●を置いた、人と玉との配置のバラエティの数を表しているに過ぎない。
この配置の数は、３つの席に配置された人と玉●との全てのバラエティである。その回転のバラエティは３である。
その全てのバラエティから回転のバラエティを無くすために、この配置の数を３分の１にする。
それは、人が席に座る回転のバラエティを無くした配置の数（いわば、円順列の数）である。
その円順列の３人と２つの玉●を、円卓の５つの席に配置する。そして、５つの席の人と玉●とを隣の席に１つづつ移す回転をさせることで、５つの席に配置する全ての配置のバラエティを計算する。その回転のバラエティを持たせるために、この配置の数を５倍する。
それは、５つの席に人と玉●を置く全てのバラエティの数になる。
すなわち、円卓の席５つに、３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は、全部で、
通りある。
（解３おわり）
【問１ｂ】
円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【解答】
３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
（そのパターンを円卓の回りに回転させると、固定した円卓に対して５つの配置ができるが、それら５つは同じ１つ円順列である。）
その１つの円順列の配置パターンに３人を配置するバラエティは
３！＝６
である。
よって、求める円順列の数は、
３！＝６
である。
（解答おわり）
【問２】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。
【解１】
３人の人が、３つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
そのパターンを円卓の回りに回転させると、その配置パターンを１回転する間に、３回、同じ配置パターンになる。
これは、この空席の配置パターンの回転対称数が３であることを意味する。
その配置パターンを１回転する間に、席が６回変わるが、その６回の変化を回転対称数３で割り算した値の２が、 １つの空席の配置パターンの円順列を回転させたときにできる、固定した円卓に対しては異なる２個の空席の配置パターンの数をあらわす２である。
すなわち、円卓の６個の席のうち、３つの空席が互いに隣り合わない席の配置のパターンの数は、上の図の空席を表す黒丸と人を表す赤丸の配置のパターンであり、２個のパターンがある。
一方で、人１，人２，人３の、人用の席への、右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
そのため、得られた２個の配置パターン毎に、３人が３！＝６通りの配置に座るので、
人の配置の数は全部で、
２×６＝１２
通りある。
（解１おわり）
【解２】
人１，人２，人３の右回りの並びの間と３人の並びの前後の２か所との何れかの位置に１つづつで、２つの空席を配置する。ただし、２つの空席が、３人の並びの先頭と最後尾とに配置する場合は除外する。そのような空席の配置のバラエティの数は、
ある。
一方で、人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
よって、人の配置の数は全部で、
２×６＝１２
通りある。
（解２おわり）
【解３】
人１，人２，人３を円卓に並べた人と人の間の３つの間に３つの空席を１つづつ配置すれば空席が互いに隣り合わず人の人との間に空席を配置するバラエティの数は、
である。しかし、そのように空席を人と人の間に配置しても、人を円卓の６つの席に配置しているわけでは無く、人は３つの席に配置している状態に留まっている。３つの席に配置した人と人との間に空席予定の玉●を置いた、人と玉との配置のバラエティの数を表しているに過ぎない。
この配置の数は、３つの席に配置された人と玉●との全てのバラエティである。その回転のバラエティは３である。
その全てのバラエティから回転のバラエティを無くすために、この配置の数を３分の１にする。
それは、人が席に座る回転のバラエティを無くした配置の数（いわば、円順列の数）である。
その円順列の３人と３つの玉●を、円卓の６つの席に配置する。そして、６つの席の人と玉●とを隣の席に１つづつ移す回転をさせることで、６つの席に配置する全ての配置のバラエティを計算する。その回転のバラエティを持たせるために、この配置の数を６倍する。
それは、６つの席に人と玉●を置く全てのバラエティの数になる。
すなわち、円卓の席６つに、３人の人が、３つの空席が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は、全部で、
通りある。
（解３おわり）
【問２ｂ】
円卓の席が６個ある。３人の人が、３つの空席同士が互いに隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の円順列の数は全部で何通りあるか。
（注意）円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。
【解答】
３人の人が、３つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、空席の配置パターンの円順列の数は１つのみである。
そのパターンを円卓の回りに回転させると、その配置パターンを１回転する間に、３回、同じ配置パターンになる。
これは、この空席の配置パターンの回転対称数が３であることを意味する。
（なお、空席の配置パターンの円順列を１回転させるには席を６回変えることになるが、その６回の変化を回転対称数３で割り算した値の２が、 １つの空席の配置パターンの円順列を回転させたときにできる、固定した円卓に対しては異なる空席の配置パターンの数の２である。）
ここで、１つの空席の円順列の配置パターンに３人を配置するバラエティは、
３！＝６
である。
しかし、空席の配置パターンの回転対称数が３であるので、３人を固定した席に配置するバラエティの数の６には、空席の円順列のパターンの回転対称数３の重複がある。
そのため、固定した席に３人を配置するバラエティの数６をその回転対称数３で割り算した値が人の配置の円順列の数になる。
よって、求める人の配置の円順列の数は、
３！／３＝２
である。
（解答おわり）
場合の数と確率
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