５席の円卓に３人が座る場合の数

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

《円順列を計算する上での基本的考え方》
　人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。

【問１】
　円卓の席が５個ある。３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は全部で何通りあるか。

【解１】
　人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
円卓の５個の席のうち、２つの空席が隣り合わない空席の配置のパターンの数は、以下の図の黒丸の配置のパターンで５個ある。

この６通りの配置毎に、３人が３！＝６通りの配置に座るので、
人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解１おわり）

【解２】
　人１，人２，人３の右回りの並びの間と３人の並びの前後の２か所との何れかの位置に１つづつで、２つの空席を配置する。ただし、２つの空席が、３人の並びの先頭と最後尾とに配置する場合は除外する。そのような空席の配置のバラエティの数は、

ある。
一方で、人１，人２，人３の右回りの並べ方は、全部で３！＝６通りある。
よって、人の配置の数は全部で、
５×６＝３０
通りある。
（解２おわり）

【解３】
　解２の解き方において、
人１，人２，人３を円卓に並べた人と人の間の３つの間の何れかに、２つの空席を１つづつ配置すれば空席が隣り合わず人の人との間に空席を配置するバラエティの数はその並び方の数、

である。しかし、そのように空席を人と人の間に配置しても、人を円卓の５つの席に配置しているわけでは無く、人は３つの席に配置している状態に留まっている。３つの席に配置した人と人との間に空席予定の玉●を置いた、人と玉との配置のバラエティの数を表しているに過ぎない。
　この配置の数は、３つの席に配置された人と玉●との全てのバラエティである。その回転のバラエティは３である。
（解３の解答開始）
　その全てのバラエティから回転のバラエティを無くすために、この配置の数を３分の１にする。
　それは、人が席に座る回転のバラエティを無くした配置の数（いわば、円順列の数）である。
　その円順列の２人と２つの玉●を、円卓の５つの席に配置する。そして、５つの席の人と玉●とを隣の席に１つづつ移す回転をさせることで、５つの席に配置する全ての配置のバラエティを計算する。その回転のバラエティを持たせるために、この配置の数を５倍する。
　それは、５つの席に人と玉●を置く全てのバラエティの数になる。
すなわち、円卓の席５つに、３人の人が、２つの空席が隣り合わ無いように席に座る場合の、人の配置の数は、全部で、

通りある。
（解３おわり）

場合の数と確率
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