パラメータａに対する、方程式の異なる実数解の個数の問題

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【問題１】以下の式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になるａの値の範囲を求めよ。


【解１】
　式(1)の方程式を、以下の関数ｆ(x) のグラフと直線ｇ(x) のグラフの交点を求める問題であると解釈する。

y=ｆ(x) のグラフとｙ＝４ａｘとの交点の数は、あるａの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値の４ａが小さければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｆ(x) のグラフと直線ｙ＝４ａｘとが接する場合の接点のｘ座標と、直線の傾き４ａの値とを求める。その接点では、式(2)であらわす曲線ｙ＝ｆ(x) のグラフの傾きｆ’(x) がｙ＝４ａｘの直線の傾き４ａに等しくなり、以下の式(5)及び(5a)が成り立つ。
　先ずは、以下のように、式(5)と式(6)を連立して関数ｆ(x) のグラフと直線ｙ＝４ax とが接するａの値と接点のｘ座標とを求める。

　式(5a)と式(6a)を連立して解くと、グラフが接するときの接点のｘ座標及びａの値が求められる。a＝０の場合にはｘ＝１の点で接する。それ以外の解は、以下の式で求められる。

ｙ＝ｆ(x) のグラフとｙ＝４ａｘのグラフが接する場合は、接点のｘ座標がｅであり、パラメータａが(１/ｅ)である。

ｙ=ｆ(x)のグラフの形を見ると、
ｘの解の数は、
式(3)があらわす直線
ｙ＝４ａｘ
の傾きａの値が、ｙ＝ｆ(x) のグラフと直線が接する場合のａ＝1/e　の場合よりも直線の傾きが小さければ、
解の数が３つある。
つまり、
交点のｘの解の数は、
ａ＜0 : ０個
ａ＝0 :　１個
0＜a＜1/e：３つ、
a=1/e : ２つ
1/e＜a : １つ
というように、ａの値によって交点のｘの解の数が変わる。
結局、式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になる場合は、パラメータａが、
0＜a＜1/e
となる場合である。
（解１おわり）

【解２】
　式(1)の方程式を、以下の関数ｈ(x) のグラフと直線ｙ＝４ａ のグラフの交点を求める問題であると解釈する。

以下の計算のように、関数ｈ(x) を微分して関数ｈ(x) のグラフの極値を与えるｘの値を求めて上記のグラフを書く。

関数ｈ(x) のグラフの形から、交点のｘの解の数は、
ａ＜0 : ０個
ａ＝0 :　１個
0＜a＜1/e：３つ、
a=1/e : ２つ
1/e＜a : １つ
というように、ａの値によって交点のｘの解の数が変わる。
結局、式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になる場合は、パラメータａが、
0＜a＜1/e
となる場合である。
（解２おわり）

【問題２】以下の式(1)の方程式の解が３つの異なる実数解になるａの値の範囲を求めよ。


【解答】
　式(1)の両辺を２乗して式(2)を得る。

この式(5)を、ａ＞０の条件の下で、問題１と同様にして解く。その結果、
方程式の解が３つの異なる実数解になる場合は、パラメータａが、
0＜a＜1/e
となる場合である。
（解答おわり）

リンク：
3次方程式の3つの解が全て実数解である条件
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