座標値が整数の点の集合を求める問題

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【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
２ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。

【問２】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－１＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）で、座標値が整数である点を求めよ。

【問題の解説】
　数ＸとＹとが整数であると定義されている問題では、当初の命題が、更に、有限個の点(X,Y) の集合を列記した命題に同値変形される。

　特に、上記の問１と問２の解答は、同じ有限個の点(X,Y) の集合になる特徴がある。

【問１の解答】



以下で、方程式(6) を方程式(7) に変形する。

変形した方程式(7) を使って命題Ｅをあらわす。

この命題Ｅに係わる方程式(7) は以下のグラフをあらわす。

このグラフから求めた解は、以下の命題Ｆになる。

結局、命題Ａは命題Ｆに同値変形された。

（問題１の解答おわり）

　この命題Ｆがあらわす有限個の点(X,Y) の集合にあてはまる方程式は、方程式(7) 以外にも存在し得る。
問題２の以下の命題Ｇに係わる方程式がそうである。

なぜなら、問題２の命題Ｇを同値変形すると、以下の命題Ｈが得られるからである。
【問題２の解答】

この命題Ｈに係わる方程式(8) は以下のグラフをあらわす。

そして、このグラフから求めた解は命題Ｆになる。

（問題２の解答おわり）

　命題Ｇは命題Ｆに同値変形される。
命題Ｇ（命題Ｈ）に係わる方程式(8) は、命題Ｆがあらわす点(X,Y) の集合に同値変形されるが、方程式(8) は、命題Ａに係わる方程式(7) とは、同じ有限個の点(X,Y) の集合をあらわす、という共通点しかない。
命題Ａと命題Ｇが等価（同値）であっても、その有限個の点(X,Y) の集合をあらわす方程式(7) も方程式(8) も、座標の値が整数の点(X,Y) 以外の余分な情報を含んでいる。その余分な情報があるので、方程式(7) と方程式(8) は互いに変換されない。その状況では、方程式(7) も方程式(8) も、いずれの方程式も、命題Ａの本質を表現する基本的な式ではない。方程式(7) も方程式(8) も、いずれの方程式も、「座標の値が整数の点(X,Y) 」という前提条件と結び付けられることで、余分な情報が消え、点の集合をあらわす命題Ｆという必要十分な情報になる。
　そのように、「以下の式を満足する（整数の）点(X,Y) の集合」と言う言葉は大切な情報なので、たとえ冗長であっても、なるべく、消さずに残しておくことが望ましい。

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