以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
《「微分・積分」の勉強》
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
《以下で、この問題の３つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）
（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。
【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ （式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
である。
（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：
この式５を解くと、
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２ （式７）
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）
（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。
式１より
接点は、
このとき、
（以上が第２の種類の接点）
（解答１おわり）
【解答２】
この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。
この方程式で、以下の式３の置き換えをして解く。
この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。
この解を、以下の様にグラフで表す。
ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。
これら、各場合を、以下の様にして解く。
この式は、重解となる条件をあらわすので、重解の判別式であると解釈できる。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。
これが、場合１の解である。
これが、場合２の解である。
これが、場合３の解である。
（解答２おわり）
【解答３】
以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。
式(1)と式(2)は、この式(4)と式(2)の連立方程式に変換された。（（注意）ｙだけで表される式(4)だけでは、どのようにしても、ｘ軸に平行な傾きで曲線が接する接点を求めることはできない。元の式(1)と式(2)のグラフを、ｙ軸を基準にして見ると、ｙ軸を基準にして傾きが無限大になる接線（ｘ軸に平行な直線）は、ｙの関数として表すことができない。それが、ｙだけの式(4)からｘ軸に平行な傾きの曲線の接点が求められない原因である）。
式(4)と式(2)の関係を、以下の図であらわす。
ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。
これら、各場合を、以下の様にして解く。
これが、場合１の解である。
これが、場合２の解である。
これが、場合３の解である。
（解答３おわり）
《「微分・積分」の勉強》
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
《以下で、この問題の３つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）
（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。
【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ （式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
である。
（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２ （式７）
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）
（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。
（解答１おわり）
【解答２】
この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。
この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。
式８－１ｂを以下の式に変形する。
（解答２おわり）
【解答３】
以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。
式(1)と式(2)は、この式(4)と式(2)の連立方程式に変換された。（（注意）ｙだけで表される式(4)だけでは、どのようにしても、ｘ軸に平行な傾きで曲線が接する接点を求めることはできない。元の式(1)と式(2)のグラフを、ｙ軸を基準にして見ると、ｙ軸を基準にして傾きが無限大になる接線（ｘ軸に平行な直線）は、ｙの関数として表すことができない。それが、ｙだけの式(4)からｘ軸に平行な傾きの曲線の接点が求められない原因である）。
式(4)と式(2)の関係を、以下の図であらわす。
ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。
これが、場合３の解である。
（解答３おわり）
リンク：
高校数学の目次
高校数学の目次
0 件のコメント:
コメントを投稿