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▷因数分解のための連立方程式の１つの解のみを求める計算技術
【問１】
以下の４次式を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
以下のような整数係数の因数の積であらわせると考える。
この方針で、先ず、以下の計算をする。
因数定理により因数が求められた。この因数で因数分解する。
以上をまとめて、元の関数の因数分解を完成させる。
（解答おわり）
《４次式を２次式の積へ因数分解する方法》
４次式を２つの２次式の積に因数分解する方法を以下に示す。
（補足）式(6)のｂの計算式は、以下の計算で導き出せる。
【問１の第２の解】
（この条件が成り立っていなければ、この解き方での解を見つけるのが難しい）
問１の４次式は、以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
（第２の解おわり）
【問２】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解答】
以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
（解答おわり）
【問３】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解答】
以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
以下で、式(7)が成り立つように式(6)でｂの値を定める。
（解答おわり）
【問４】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解１】
ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行する。以下のように、ぴったり合う解を得て、２次式の積に因数分解する。
（解１おわり）
【解２】
解１では、ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行した。しかし、限られた個数の整数解の候補であっても、その候補の数が多ければ、多くの候補をいちいち確認しなければならない。それでは大変である。それよりは、方程式を解いて整数解を求める方が現実的である。整数解を持つことが分かっている方程式は容易に解ける。そういう方程式を解くことが望ましい。
この式のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。
こうして整数解のｃが求められた。
（解２おわり）
《ｘの４乗の項の係数が１では無い式の因数分解》
この因数分解の解の整数係数ａ，ｂ，ｃも、以下のようにして求められる。
先ず、この式(10)の整数解ｓを求める。
次に、その整数解ｓを使って以下の計算をする。
この方程式(12)のｚの整数解αとβを求める。
その整数解を使って以下の計算をする。
式(13)に式(12)のβを代入してｃとａの比を得る。その比を使って整数ａとｃを定める。次に整数ｂを、式(6)(7)を使って求める。
（解答おわり）
〘補足〙
以上の解き方は、整数係数の因数の２次式に因数分解する場合だけでなく、一般の４次方程式の解を求める場合にも利用できる。式(10)は３次方程式になった。３次方程式の解の公式を使って式(10)を解くことにして、一般の４次方程式を解くためにも、この方法が使える。
【問１の第３の解】
問１を、上記の解き方を使って以下の様に解く。
この式(20)のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。
そのｓの１つの整数解は以下の値である。
（第３の解おわり）
《因数分解のための連立方程式の１つの解のみを求める計算技術》
【問５】
以下の４次式を因数分解せよ。
【解１】
以下の式のように、因数分解すべき関数を変数ａの関数ｆ(a) と考えて、式をａに関して整理して式(1) を得る。
この式(1)を、パラメータｂに関する整式ｇ(b)，ｃ(b)，ｈ(b)を係数とする以下の形の式に因数分解しようと考える。ここで、式ｇ(b)，ｃ(b)，ｈ(b)はｂに関する整式（単純な式）であることに留意して計算を進める注意が必要である。
この式(2)と先の式(1)が同じ式になるように、変数ａの３次の項の係数を比較し、２次の項、１次の項の係数を比較し、変数ａに係る定数項を比較して、以下の連立方程式(3)(4)(5)を得る。
ここで、因数分解の目的のためには、連立方程式(3)(4)(5)の全部の解を求める必要は無く、解の１つを求めるだけで良い。
この式(8) を成り立たせる（パラメータｂの整式）ｃとｇが、以下の単純な式(9)(10)であらわされると仮定する。（解を仮定して方程式の解の１つを求める計算技術）
（注意：この仮定をせずに、式ｇ，ｃ，ｈがパラメータｂの整式であるという条件を厳密に適用して連立方程式を解くことでも、結局は式(9)(10)の解が得られるが、その計算は煩雑になる）
この式(9)(10)が解として正しいかを判定するために、式(9)(10)を式(4)に代入して、ｈの式を得て、そのｈの式が、式(6)や式(7)から得られるｈの式と同じになるかを確認する。
この式(11)は、式(6)や式(7)から得られるｈの式と同じになった。よって、式(9)(10)(11)が、連立方程式(3)(4)(5)の解の１つである。
（解１おわり）
【解２】
しかしながら、解１の計算技術は、あまりにも技巧的すぎて、問題の答案の採点者には理解されにくい。そのため、解答用紙には、以下のように、この解１で求めた因数分解の式を逆に展開して元の式を得る。そして、その式の最後の行を最初に書いて、逆に式を書いていき、最後に解答の因数分解の式を書く式を書いて、因数分解の解答として書けば良い。
それは、発想の順では無いが、解答の式としてはつじつまが合っているので、それを解答として記述すれば良い。
（解２おわり）
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▷因数分解のための連立方程式の１つの解のみを求める計算技術
【問１】
以下の４次式を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
以下のような整数係数の因数の積であらわせると考える。
この方針で、先ず、以下の計算をする。
因数定理により因数が求められた。この因数で因数分解する。
以上をまとめて、元の関数の因数分解を完成させる。
（解答おわり）
《４次式を２次式の積へ因数分解する方法》
４次式を２つの２次式の積に因数分解する方法を以下に示す。
（補足）式(6)のｂの計算式は、以下の計算で導き出せる。
【問１の第２の解】
（この条件が成り立っていなければ、この解き方での解を見つけるのが難しい）
問１の４次式は、以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
（第２の解おわり）
【問２】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解答】
以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
（解答おわり）
【問３】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解答】
以下のようにして、２次式の積に因数分解する。
以下で、式(7)が成り立つように式(6)でｂの値を定める。
（解答おわり）
【問４】
以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。
【解１】
ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行する。以下のように、ぴったり合う解を得て、２次式の積に因数分解する。
（解１おわり）
【解２】
解１では、ｃの値を順次に変えて、ぴったり合う解になるまで試行した。しかし、限られた個数の整数解の候補であっても、その候補の数が多ければ、多くの候補をいちいち確認しなければならない。それでは大変である。それよりは、方程式を解いて整数解を求める方が現実的である。整数解を持つことが分かっている方程式は容易に解ける。そういう方程式を解くことが望ましい。
この式のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。
こうして整数解のｃが求められた。
（解２おわり）
《ｘの４乗の項の係数が１では無い式の因数分解》
この因数分解の解の整数係数ａ，ｂ，ｃも、以下のようにして求められる。
先ず、この式(10)の整数解ｓを求める。
次に、その整数解ｓを使って以下の計算をする。
この方程式(12)のｚの整数解αとβを求める。
その整数解を使って以下の計算をする。
式(13)に式(12)のβを代入してｃとａの比を得る。その比を使って整数ａとｃを定める。次に整数ｂを、式(6)(7)を使って求める。
（解答おわり）
〘補足〙
以上の解き方は、整数係数の因数の２次式に因数分解する場合だけでなく、一般の４次方程式の解を求める場合にも利用できる。式(10)は３次方程式になった。３次方程式の解の公式を使って式(10)を解くことにして、一般の４次方程式を解くためにも、この方法が使える。
【問１の第３の解】
問１を、上記の解き方を使って以下の様に解く。
この式(20)のｓの１つの整数解を求める。その整数解は、式(1)のｘの１つの有理数解を求める場合よりも簡単に求めることができる。
そのｓの１つの整数解は以下の値である。
（第３の解おわり）
《因数分解のための連立方程式の１つの解のみを求める計算技術》
【問５】
以下の４次式を因数分解せよ。
【解１】
以下の式のように、因数分解すべき関数を変数ａの関数ｆ(a) と考えて、式をａに関して整理して式(1) を得る。
この式(1)を、パラメータｂに関する整式ｇ(b)，ｃ(b)，ｈ(b)を係数とする以下の形の式に因数分解しようと考える。ここで、式ｇ(b)，ｃ(b)，ｈ(b)はｂに関する整式（単純な式）であることに留意して計算を進める注意が必要である。
この式(2)と先の式(1)が同じ式になるように、変数ａの３次の項の係数を比較し、２次の項、１次の項の係数を比較し、変数ａに係る定数項を比較して、以下の連立方程式(3)(4)(5)を得る。
ここで、因数分解の目的のためには、連立方程式(3)(4)(5)の全部の解を求める必要は無く、解の１つを求めるだけで良い。
この式(8) を成り立たせる（パラメータｂの整式）ｃとｇが、以下の単純な式(9)(10)であらわされると仮定する。（解を仮定して方程式の解の１つを求める計算技術）
（注意：この仮定をせずに、式ｇ，ｃ，ｈがパラメータｂの整式であるという条件を厳密に適用して連立方程式を解くことでも、結局は式(9)(10)の解が得られるが、その計算は煩雑になる）
この式(9)(10)が解として正しいかを判定するために、式(9)(10)を式(4)に代入して、ｈの式を得て、そのｈの式が、式(6)や式(7)から得られるｈの式と同じになるかを確認する。
この式(11)は、式(6)や式(7)から得られるｈの式と同じになった。よって、式(9)(10)(11)が、連立方程式(3)(4)(5)の解の１つである。
（解１おわり）
【解２】
しかしながら、解１の計算技術は、あまりにも技巧的すぎて、問題の答案の採点者には理解されにくい。そのため、解答用紙には、以下のように、この解１で求めた因数分解の式を逆に展開して元の式を得る。そして、その式の最後の行を最初に書いて、逆に式を書いていき、最後に解答の因数分解の式を書く式を書いて、因数分解の解答として書けば良い。
それは、発想の順では無いが、解答の式としてはつじつまが合っているので、それを解答として記述すれば良い。
（解２おわり）
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