以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】以下の、無理関数の分数式の変換公式を証明せよ。
ある定数Cで結ばれる、
という式の関係がある場合に、
その式に関係する以下の式（左辺の分数式）が、
右辺の分数式と等しい事を示せ。
【問２】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問３】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４ｂ】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４ｃ】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問５】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。
【問６】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。
【問７】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問１】以下の、無理関数の分数式の変換公式を証明せよ。
ある定数Cで結ばれる、
という式の関係がある場合に、
その式に関係する以下の式（左辺の分数式）が、
右辺の分数式と等しい事を示せ。
【問１の解答】
となる。
∴
が成り立つ。
（解答おわり）
【問２】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問２の解答】
と置くと、
問１の関係で、C＝１の場合の関係が成り立っている。
よって、
が成り立つ。
（解答おわり）
【問３】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問３の解答】
と置くと、
問１の関係で、C＝－３の場合の関係が成り立っている。
よって、
が成り立つ。
（解答おわり）
問１の式は、公式として覚えてください。
式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、すぐ、このように式を変形できるように式の変形のコツを覚えておいてください。
【問４】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４の解答（その１）】
と置く。
ただし、ｔ＞０とする。
すると：
が成り立つ。
これらの式を使って以下の様に計算する。
（解答（その１）おわり）
【問４の解答（その２）】
（解答（その２）おわり）
【問４ｂ】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４ｂの解答】
（解答おわり）
【問４ｃ】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問４ｃの解答】
（解答おわり）
【問５】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。
【問５の解答】
と置く。
ただし、ｔ≧１とする。
すると：
が成り立つ。
これらの式を使って以下の様に計算する。
（解答おわり）
【問６】以下の式が成り立つ事を示せ。
ただし、ｘ≧１とする。
【問６の解答】
と置く。
ただし、ｔ≧１とする。
すると：
が成り立つ。
これらの式を使って以下の様に計算する。
上式の形を成り立たせる係数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを求める。
この係数を代入して計算を続ける。
（解答おわり）
【問７】以下の式が成り立つ事を示せ。
【問７の解答】
と置く。
ただし、ｔ＞０とする。
すると：
が成り立つ。
これらの式を使って以下の様に計算する。
上式の形を成り立たせる係数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを求める。
この係数を代入して計算を続ける。
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
Aと書かれたカード、Bと書かれたカード、Cと書かれたカードがそれぞれ2枚の計6枚を円形に並べたとき、1部分でも、時計回りにABCと続いて並ぶ確率を求めよ。
【解答】
この種の問題は、以下の様に地道に場合分けして確率を求めることができます。
A1,A2,B1,B2,C1,C2の６枚のカードを円形にならべる。
（各カードの模様をA,B,C,Dとする。
模様Bの個々の２つのカードB1,B2 のどれか１つをBxと書き、残りの１つのカードをByであらわす。）
A1の位置を固定する。
時計回りに、A1に続いて並ぶうち、ABCと続いて並ぶ確率を、以下の樹形図を使って計算する。
《事象の連鎖の表現》
下図の樹形図では、A1と、それに続くカードの順列によって事象の連鎖をあらわす。
例えば、事象の連鎖をA1,A2,Bx,Cy,残5,残6とあらわす。その事象の連鎖の、カードが不定な部分の表現を省略してA1,A2,Bx,Cyであらわす。
また、事象の連鎖をA1,Bx,Cy,残4,残5,残6とあらわす。その事象の連鎖の、カードが不定な部分の表現を省略してA1,Bx,Cyであらわす。
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
A,B,C,D,a,bを円形に並べるとき
(1)4個の大文字のうち3個だけが隣り合う確率
(2)Aとa,およびBとbがそれぞれ向かい合う確率
を求めよ。
【解答１】
この問題は、回転させてみると形が６つに変わる問題なので、
回転させて形が重なる形６つを１つの形で代表させることで問題を簡単にします。
(1)の解答：
下図の①から③まで、図形をいろいろ書いて考える。
③では、文字を配置する席（位置）の形をみつける。
④で、その席の形も、回転させてみると形が６つに変わる事を確認する。
その席の形が６つに変わるので、その形が重なる６つの席の形を③でみつけた席の形で代表させる。
上図のように、③の形の席に文字を配置する場合の数を数える。
その場合の数を、回転させて重なる形の代表の総数で割り算して、求める確率を求める。
（(1)の答え）確率＝２／５
（(1)の解答おわり）
(2)の解答：
下図の①から②まで、図形をいろいろ書いて考える。
②では、文字を配置する席（位置）の形をみつける。
③で、その席の形も、回転させてみると形が６つに変わる事を確認する。
その席の形が６つに変わるので、その形が重なる６つの席の形を②でみつけた席の形で代表させる。
上図のように、②の形の席に文字を配置する場合の数を数える。
その場合の数を、回転させて重なる形の代表の総数で割り算して、求める確率を求める。
（(2)の答え）確率＝１／１５
（(2)の解答おわり）
【解答１の２】
以下の様に、同様に計算して解答できます。
（問題を易しくする）
円上に文字を順に並べるパターンの発生確率を求める問題は、同じパターン（ただし、その位置が回転している）が重複して生じます。同じものが回転して形を変えて現れるなら、その全部を１つの物と把握して、問題を、より単純な問題に変換できないかと考えます。
（解決策）
この問題は、６文字全てが異なる文字なので、どれかの第１の文字（その文字を仮にＸとする）の位置を固定した配列パターンを考えれば、そのパターンは、その配列全体を回転させた、文字Ｘが６か所にある６つのパターンを代表したパターンになります。それにより、考えなければいけない配列パターンの数を６分の１に単純化できます。
その配列パターンの数は、
固定した文字以外の５つの文字を文字Ｘから右回りに配置する組み合わせなので、
５！＝５×４×３×２×１＝１２０通り
(1)の解答
４個の大文字のうち他の大文字と隣り合わない１個の文字Ｘを決め、その位置を固定します。
・・・文字Ｘの選び方は４通り。
文字Ｘの両隣は小文字２つですから、
その小文字２つの並べ方は２通り。
最後に隣り合う大文字３個の組を置きますが、
大文字３個の並べ方は
３×２×１＝６通りあります。
従って
４×２×６＝４８通り。
確率は、４８／１２０＝２／５
（(1)の解答おわり）
(2)の解答
Ａを決めます・・・１通り
ａは自動的にきまります。
Ｂを決めますが、残りの場所は４つなので・・・４通り
ｂは自動的にきまります。
残り2つの場所にＣ，Ｄを並べます・・・２通り
従って、１×４×２＝８通り
確率は、８／１２０＝１／１５
（(2)の解答おわり）
「教科書より詳しい高校数学」
の「円形に並べる確率」の解説も参考になります。
「円順列の求め方は「固定させる！」でしたが条件が付くことによって解法が変わります。それぞれのパターンをしっかりと理解しておきましょう。」
【解答２】
確率という視点で考えると、以下の様な発想も可能になります。
この解き方は、以下の様に発案して解く事ができると思います。
(1)の問題は、文字の並び方が、「４個の大文字のうち３個だけが隣り合う確率」という表現で、大文字に注目させた問題です。しかし、そういう問題だからこそ、逆転の発想で、問題文では注目させられず陰に隠れている小文字に注目してみましょう。
（第１に）
小文字ａの位置を固定します。
（第２に）
小文字ａの位置を固定すれば、あと、残っている小文字はｂのみです。その小文字ｂの位置によって、大文字の配列の形が決まってしまいます。
（考察）
大文字のうち３個だけが隣り合うパターンを決める小文字ｂの位置とはどこかと考えてみます。小文字ｂの配置できる位置は小文字ａの位置以外の５か所のみです。
その５か所を全て考えると、２か所のみが、(1)の問題の条件を満足する事がわかります。
そのため、(1)の問題の解答は、小文字ｂが５か所のうち２か所に配列される確率だとわかりました。
（(1)の解答）
小文字ａの位置を固定点にして、回転して重なる文字配置の代表にする。
すると、小文字ｂの配置できる点は５つある。
その配置できる点のうち、小文字ａから１文字おいた次の位置（それは２つある）に小文字ｂを置く場合のみに、３個の大文字だけが隣り合う配置になる。
その位置の小文字ｂを置く確率＝２／５である。
（(1)の解答おわり）
（(2)の問題の解き方）
(2)の問題も、「Aとa,およびBとbがそれぞれ向かい合う確率を求めよ」と表現され、大文字に注目させた問題です。しかし、そういう問題だからこそ、逆転の発想で、問題文では注目させられず陰に隠れている小文字に注目してみましょう。「ａとＡ、および、ｂとＢがそれぞれ向かい合う確率を求めよ」という問題に変換して考えます。
小文字はａとｂとの２つしかありませんので、その２つに係る事だけを考えれば良いので、問題が簡単になります。
（考察１）
小文字ａの位置を固定します。すると、ａの位置に対向する位置も固定されます。
その固定された位置に文字Ａが来る確率とは何かを考えます。
文字Ａの位置の自由度は、小文字ａの位置以外の５か所のみです。そのうち、小文字ａの位置に対向する位置は１か所しかありません。
そのため、
小文字ａの位置に対向する位置に文字Ａが来る確率は、
１／５
だとわかります。
（考察２）
小文字ａと大文字Ａを配置した後で、
小文字ｂの位置に対向する位置に文字Ｂを配置する確率を考えます。
小文字ｂの位置が決まらなければ、その位置に対向する位置も定まりませんが、
分かっている事は、小文字ｂの配置できる位置は、小文字ａと大文字Ａの位置以外の４か所の位置のどこかに配置される事です。
そして、小文字ｂを配置したら、大文字Ｂが配置できる位置は３か所しか無い事です。
小文字ｂの位置がどこであっても、その小文字ｂの位置に対向する位置は存在し、その位置は１か所のみです。
そのため、
小文字ａと大文字Ａを配置し、更に、小文字ｂを任意の可能な位置に配置した後に、
小文字ｂの位置に対向する位置に文字Ｂを配置する確率は、
１／３
です。
以上の考察により、(2)の問題は、以下の様に解く事ができることがわかりました。
（(2)の解答）
小文字ａの位置を固定点にすると、
大文字Aが小文字ａに対向する位置に来る確率＝１／５である。
大文字Aが小文字ａに対抗する位置にあって、残りの位置４つのどこかに小文字ｂがある場合に、大文字Bの配置できる点は３つある。
その配置できる点のうち、小文字ｂに対向する位置に来る確率＝１／３である。
よって、
大文字Aが小文字ａに対向する位置に来て、かつ、大文字Bが小文字ｂに対向する位置に来る確率
＝（１／５）×（１／３）＝１／１５である。
（(2)の解答おわり）
（補足１）
(2)の問題では、先ず文字ａを配置し、次に文字Ａを配置し、次に文字ｂを配置し、次に文字Ｂを配置する、という文字の配置の順番を自分で勝手に定めて、その順番で配置する場合に目的の配置パターンに近付いていく確率を求めました。
その様に、自分で勝手に定めた順に文字を配置して確率を求める方法でも正しい確率の答えが得られるという原理を使って問題を解きました。
この原理は、この様にして問題を解いても正しい答えが得られるという経験からつかみ取った原理です。
（補足２）
確率の問題は、パターンの要点のみに注目して確率を求める解答２の様な発想で問題を解く事ができます。
解答１のように全ての場合を数え上げないでも解ける道があるのが確率の問題の特徴です。
リンク：
高校数学の目次
以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問題】（早稲田大）
n は 2 よりも大きい整数とし,
数列： a1, a2, a3, ⋯, an,
と、
数列： b1, b2, b3, ⋯, bn,
は、全て正の数であって、
以下の式１と式２を満たすものとする。
このとき、
０＜ｍ＜ｎ
である全ての整数ｍに対して、
が成り立つことを証明せよ。
（問題おわり）
【問題を解くための発想の準備体操】
こういう、見た事の無い問題を解く場合は、
具体的な、特定の場合を考えて、問題を解くための発想が出やすくする、以下の様な考察をして発想の準備体操にします。
発想の準備体操なので、間違いがあっても、気にせず、その間違った発想を無かったことにはしないで、おおらかな気持ちで空想の翼を大きく広げます。
a1＝a2＝a3＝ ⋯＝an＝１
と考えます。
式１により、
a1＋a2＋a3＋ ⋯＋an＝ｎ，
ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ ⋯＋ｂｎ＝ｎ，
となります。
ｂｉをａｉとの関係で考え易くするために、
ｂｉ＝ｋｉ・ａｉ ，（４）
とあらわす、ｋｉという記号を導入します。
すると、式２は、以下の式５であらわせます。
すると、
式１により、
ｎ＝ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ ⋯＋ｂｎ
＝ｋ1＋ｋ2＋ｋ3＋ ⋯＋ｋｎ，
とあらわせます。
式５の関係があるので、
ｋ1＜ｋｎ ，
であって、
ｋ1＜１＜ｋｎ ，
です。
a1＋a2＋a3＋ ⋯＋aｍ＝ｍ，
に対して、
ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ ⋯＋ｂn
は、
ｋｎ＝ｂｎ＞１
となる項などの、１より大きい項が減るので、
ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ ⋯ ＋ｂｍ＜ｍ
となります。
これで、具体例が、証明しようとするところまでつながるまで、準備体操が進みました。
【証明に近づく考察】
ｂｉの和を、記号ｋｉを使ってあらわすと、以下の式６になります。
この式６を式１に代入すると以下の式７が得られ、整理すると式８になります
式５に従ってｋｉが順次に大きくなるので、
式８を成り立たせるために、
（ｋｉ－１）が順次に、マイナスの値から始めて、プラスの値まで移行する事がわかります。
そのため、
式８の和を途中のｍで止めてしまったら、
（ｋｉ－１）がプラスになる項が不足してしまうので、
そこまでの和は負になる事がわかるので、
０＜ｍ＜ｎなる整数ｍに関して以下の式９が成り立つ事がわかります。
これで、証明の式までたどりつけました。
しかし、この考えを反省すると以下の欠陥がある事が分かります。
（以上の考察の欠陥）
式８の和を途中のｍで止めてしまったら、
（ｋｉ－１）がプラスになる項が減るだけで無く、
（ｋｉ－１）がマイナスになる項が減ることもあり得るではないか。
その場合は、減った項の和がプラスになるとは限らなくなり、残った項の和がマイナスになるとは限らないではないか。
この欠陥があったので、改めて、
（ｋｉ－１）がプラスになる項が減るだけでなく、マイナスになる項も減る場合を考えます。
その場合は、残った項（ｍまでの項）は全て、（ｋｉ－１）がマイナスになります。
そのため、それらの項の和はマイナスになり、式９が成り立ちます。
これで、証明が出来上がりました。
証明のポイントは、
式７を書いて、
式８を導いて 、
（場合１）
式８の和を途中のｍで止めたら、
未だ加えていない残りの項が全て、（ｋｉ－１）がプラスになる場合。
（場合２）
式８の和を途中のｍで止めたら、
そこまで加えた項が全て、（ｋｉ－１）がマイナスになる場合。
この２つの場合に分けて式９を証明する。そして、式９を変形して、以下の式１０にすれば良いことがわかりました。
後は、この方針で整理して証明を記述する作業が残っていますが、その部分は省略しますので、各自で行なってください。
リンク：
高校数学の目次
という式の関係がある場合に、
右辺の分数式と等しい事を示せ。
となる。
と置くと、
と置くと、
と置く。
が成り立つ。
（解答（その１）おわり）
（解答おわり）
と置く。
が成り立つ。
（解答おわり）
上式の形を成り立たせる係数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを求める。
この係数を代入して計算を続ける。
（解答おわり）
と置く。
が成り立つ。
上式の形を成り立たせる係数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを求める。
（解答おわり）
