tan(x/2)で置換積分して最適な積分変数を求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

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▷【別解】大学数学で学ぶ複素関数を用いた複素積分

【問１】
以下の不定積分を求めよ。


【解の第１段階】
　この問題を解く第１段階として、
tan(x/2)=ｕとする変数ｕを導入して以下の様に解く。
（変数ｕを導入する考え方）
tan(x/2)=ｕ
とする変数ｕを導入する場合は、
「ここをクリックした参考サイトの様な解き方」
をすると、
x/2=π/2の点で、
tan(x/2)の値が無限大になってしまうので、
その点を含む x の区間では積分できない
という問題がある。
（ここをクリックした先の「広義積分を必要とする積分の例」を参照）

　しかし、それを改善する手段がある。
（１）　tan(x/2)が無限大になってその点のｘで積分できないので、不定積分の変数ｘの定義域を、そのｘの点を境界点にしたその境界点以外の左側の区間を第１の不定積分の変数ｘの定義域にする。また、その境界点以外の右側の区間を第２の不定積分の変数ｘの定義域にする。そのように、定義域が異なる２つの不定積分の解を求める。
（２）　そのように定義域がバラバラな不定積分の解同士が、そのｘの境界点で、不定積分の有限な値の極限値があり、そのｘの境界点で、第１と第２の不定積分の解が接続できる場合は、そのｘの境界点での極限値をその不定積分の関数の値として定義する。それは広義積分と呼ばれている。広義積分をすることを明確にするために、以下の説明文を解答に加える。
「この不定積分の関数F(x)でのcos(x/2)→0となる変数ｘの極限でのF(x)の極限値を、そのｘの値でのF(x)の値と定義する」
　そして、ｘの境界点の左右の区間をつないで一体化して１つの区間にし、その区間を第１と第２の不定積分を合体させた関数F(x) の定義域にする。こうして、元の関数ではxの値が定義されていたが、tan(x/2)=ｔとする変数ｔを導入することで潰された変数xの値を、広義積分によってそのｘの点での関数F(x)の値を定義することでそのｘの点を定義域に復活させる。また、関数F(x) の定義域の区間を拡大する。

　以下で、その方法により解く。

【第１段階開始】
　この問題を、
tan(x/2)=uとする変数uを導入して以下の様に解く。


〔変数ｘの第１の定義域の不定積分〕
　以下のように、変数ｘを変数ｕに置き換えて置換積分する。その置換積分に対応して、置換積分をする変数ｘと変数ｕの範囲を定義し、計算の準備をする。得られる不定積分の関数は、式(3)で与えられる定義域の範囲の関数である。



次に、以下の置換積分の計算をする。


ここで、再度変数を変換して置換積分の計算をする。


ここで、式(8)と(2)によって、変数θと変数ｘとを結びつける式を整理する。

この式の両辺を２乗する。

この式(13)は、式(3)で制限された範囲の変数ｘによっては、分母が０にならない。
この式を変形する。


この式(14)で定義される変数θによって、積分結果が以下の式であらわされる。

なお、式(14)と対になるべき、sin(2θ)を変数ｘであらわす式が、以下の計算によって得られる。

こうして、変数θが、式(14)(15)で定義されて、式(3)で制限された変数ｘの範囲での不定積分が以下の式であらわされた。

（第１の定義域の不定積分おわり）

〔変数ｘの第２の定義域の不定積分〕
　以下のように、式(23)で与える変数ｘの第２の定義域での不定積分を、変数ｘを変数ｕに置き換えて置換積分する。

これ以降の計算は、先の式(6)から式(15)の計算を繰り返して、変数ｘの第２の定義域の不定積分を計算する。
こうして、変数θが、式(14)(15)で定義されて、式(3)で制限された変数ｘの範囲での不定積分が以下の式であらわされた。

（第２の定義域の不定積分おわり）

〔広義積分の適用による積分の定義域の制限の解消〕
　上の式の計算で、不定積分の第１の定義域と第２の定義域の境界点のｘ＝πの点を考える。その境界点の極限において、式(11)で与えられる不定積分の値が有限の値の極限値を持つ。そのため、ｘ＝πの点での不定積分の値をその極限値で定義する（広義積分の処理を行う）。その次に、第１の定義域の不定積分の定義域と第２の定義域の不定積分の定義域をつないで１つの定義域にした不定積分の解を得る。こうして広義積分を行なうことで、置換積分を媒介する変数ｕの導入によって制限されていた不定積分の積分範囲の制限を解消する。

（以上で解の第１段階の処理おわり）

【第２段階開始】
　以上の計算の結果、元の式を置換積分するために最適な積分変数が何であるかがわかった。そのため、その積分変数を使って、置換積分する。

以下の２つの式で定義する単位円の偏角の変数ｗを導入する。すなわち、式(a2)では、変数ｗを、cos()の逆関数と右辺のｘの式との合成関数で定義している。

（注意）単位円の偏角ｗは、cos(ｗ)の式だけで偏角ｗを定義する通常の定義の場合には、ｗの値の範囲を限定して偏角を定義していた。一方で、偏角ｗを、そのような値の範囲の限定に依らずに定義する場合は、sin(ｗ)の式とcos(ｗ)の式との２式を並置することで偏角ｗの値を確定させる必要がある。ただし、sin(ｗ)の式とcos(ｗ)の式を互いに矛盾しない式にする必要がある。

式(a2)と(a3)で定義されるｗとｘとは１対１で対応する。そのように扱い易い関係がある。
先ず式(a3)の両辺を微分する。
式(a2)を代入する。

この第２段階の積分の計算では、変数ｘの定義域を狭めない変数変換によって積分ができた。
（第２段階おわり）

（注意）式(a2)を代入した式を式(a4)に変形する計算は、値が０になり得る式(1+2cosx)で式を割り算する計算を含むので、同値変形では無い。その計算方法は、積分に広義積分を含ませることにより許されていることに注意すべきである。

（補足）
　ここで、変数ｗとｘとに１対１対応の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを利用して、堂々と積分変数を変更して置換積分して良い。


【別解】大学数学で学ぶ複素関数を用いた複素積分
　この問題の積分は、「積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式」を利用して、以下のように積分することもできる。


ここで、「積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式」を適用する。また、複素積分を行い、複素数の対数関数log(複素数)を用いる。（通常の実関数としての対数関数にはln()という記号を、複素関数としての対数関数にはlog()という記号を使って区別すると良いと思う）


この式(b3)から、解をあらわす式(b4)(b5)が得られる。

（別解おわり）

【微分して検算する】
　以上の別解の積分結果を微分すれば逆に、元の被積分関数が得られると考える。そのことを、以下の一般的な形の式を微分して確認する。

以上の２つの式であらわされた関数ｗを微分する。
先ず、式(2)をｘで微分する。


この式(3)に式(1)を代入する。

関数ｗの微分の式(4)が得られたので、
式(4)の右辺の積分が、式(1)(2)で表わされる関数ｗであることが確認できた。
（検算おわり）

（検算（その２））
以下の条件内に限定した以下の計算をして検算することもできる。
すなわち、式(1)と(2)から、以下の式(5)が得られる。
ｘの値が(π/2)などの、式(5)の分母を０にする値においては式(6)が定義されていない。しかし、その制限に対して、広義積分によって、変数ｘをその値に近づける極限での式(6)の各項の極限値を、変数ｘがその値での式(6)の各項の値と定義する。それにより、変数ｘがその値の場合でも式(6)を定義する。

　こうして、関数ｗの微分の式(6)が得られたので、
式(6)の右辺の積分が、式(1)(2)で表わされる関数ｗであることが確認できた。
（検算おわり）

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三角比の分数式の三平方の定理

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問題１】 
g>1の場合に、以下の式(1)：

が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
分子を以下のように変形する。

分子の２乗和が、分母の２乗に等しくなった。
よって、式(1)が成り立つ。
（証明おわり）

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３つの組に（各人を区別できる）所定人数を割り当てる組合せの数と、組分けの構造の対称性

以下は、ここをクリックした先のページの問３から問７の解答です。

【問３】
　（各人を区別できる）６人を、A組とB組とC組に、３人と、２人と、１人に分ける、ただし、各組に３人か２人か１人かを自由に割り当てた、あらゆる組み合わせの数は何通りあるか。すなわち、(Ａ組,Ｂ組,Ｃ組) が、(3,2,1)や(1,2,3)や(2,3,1)などの場合を含む。

【問３の解答】
（１）
　３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作る。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人を１組に割り当て、次に残った３人のうち２人を２組に割り当て、最後に残った１人を３組に割り当てる場合の数であって、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１），

通りである。
（２）
　１組と２組と３組をＡ組とＢ組とＣ組に、あらゆる組み合わせで対応させる組み合わせの数は３！である。
（３）
　A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、
（３人割り当てた組（１組）と、２人割り当てた組（２組）と、１人割り当てた組（３組）を作るあらゆる組み合わせの数）×（１組と２組と３組を、Ａ組とＢ組とＣ組に対応させるあらゆる組み合わせの数）
である。その数は、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１）×（３！），
通りである。
（問３の解答おわり）

【問４】
　６人を、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる組み合わせの数は何通りあるか。

【問４の解答】
（１）
　A組に３人割り当て、B組に２人割り当て、C組に１人割り当てる。
その組み合わせの数は、先ず、６人のうち３人をA組に割り当て、次に残った３人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った１人をC組に割り当てる場合の数であって、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１），

通りである。
（問４の解答おわり）

【問５】
　６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。

【問５の解答】
（１）
A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数は、【問３】の通り、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１）×（３！），
通りである。
（２）
３人と２人と１人の３組を、A組とB組とC組に対応付けるあらゆる組み合わせの数は、３！組ある。
（３）
６人を、３人と、２人と、１人に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由に割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３組を、A組とB組とC組に対応付ける組み合わせの数）
＝（A組とB組とC組に、３人と２人と１人を自由割り当てて分ける、あらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１）
（問５の解答おわり）
　問５の解答の組み合わせの数は、問４の解答の組み合わせの数と同じである。

【問５Ａ】
　１０人を、Ａ組に３人、Ｂ組に３人、Ｃ組に４人、に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。

【問５Ａの解】
　１０人を、Ａ組に３人、Ｂ組に３人、Ｃ組に４人、に分けるあらゆる組み合わせの数は、先ず、１０人のうち３人をＡ組に割り当て、次に残った７人のうち３人をＢ組に割り当て、最後に残った４人をＣ組に割り当てる場合の数であって、
（_１０Ｃ_３）（_７Ｃ_３）（_４Ｃ_４），

通りである。
（問５Ａの解答おわり）

【問５Ｂ】
　１０人を、３人と、３人と、４人の、（区別が無い）組に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。

【問５Ｂの解１】
（１）
　１０人を、Ａ組に３人、Ｂ組に３人、Ｃ組に４人、に分けるあらゆる組み合わせの数は、先ず、１０人のうち３人をＡ組に割り当て、次に残った７人のうち３人をＢ組に割り当て、最後に残った４人をＣ組に割り当てる場合の数であって、
（_１０Ｃ_３）（_７Ｃ_３）（_４Ｃ_４），

通りである。
（２）
　各３人の（名前の区別が無い）２組を、Ａ組とＢ組への組分けに対応付けるあらゆるバラエティの数、言い換えると、「Ａ組とＢ組への組分けを種にして、組の名前を付け替えて得られる組分けのバラエティの数」は、２！＝２ある。
（３）
　１０人を、３人と、３人と、４人の、（区別が無い）組に分けるあらゆる組み合わせの数は＝
＝（１０人を、Ａ組とＢ組とＣ組に、３人、３人、４人に分けるあらゆる組み合わせの数）／（名前の区別が無い２組を、Ａ組とＢ組への組分けに対応付けるバラエティの数）
＝（１０人を、Ａ組とＢ組とＣ組に、３人、３人、４人に分けるあらゆる組み合わせの数）／（２！）
＝（_１０Ｃ_３）（_７Ｃ_３）（_４Ｃ_４）／（２！），
通りである。
（問５Ｂの解１おわり）

【問５Ｂの解２】
　「組に区別が無い」４人の組は、その組が４人であることによって自動的に区別される。
４人の組が第１の組である。
４人の組（第１組）が構成されるバラエティは、１０人から４人を選ぶ組み合わせの数である。

　第２の組は、残りの６人の中の誰か一人（ｃさん）が入っている組である。
そのｃさんがいる第２の組の残り２人のメンバーを、残った人数の５人から選ぶバラエティを計算する。

３人残るので、その３人が第３の組を構成する。こうして、組の特徴をメンバーによって区別した、３人ずつの第２の組（ｃさんの組）と第３の組が区別できる。
ゆえに、求める組み分けの数は、

である。
（問５Ｂの解２おわり）

《補足》
　問５Ｂの、解１と解２が同じ値の解を与え、以下の式が成り立っている。


【問６】
　６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。

【問６の解答】
　６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、先ず、６人のうち２人をA組に割り当て、次に残った４人のうち２人をB組に割り当て、最後に残った２人をC組に割り当てる場合の数であって、
（_６Ｃ_２）（_４Ｃ_２）（_２Ｃ_２），

通りである。
（問６の解答おわり）

【問７】
　６人を、各組２人の（区別が無い）３組に分けるあらゆる組み合わせの数は何通りあるか。

【問７の解１】
（１）
６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数は、【問６】の通り、
（_６Ｃ_２）（_４Ｃ_２）（_２Ｃ_２），

通りである。
（２）
各２人の（名前の区別が無い）３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるあらゆるバラエティの数、言い換えると、「A組とB組とC組への組分けを種にして、組の名前を付け替えて得られる組分けのバラエティの数」は、３！＝６ある。

（３）
６人を、各組２人の３組に分けるあらゆる組み合わせの数＝
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（名前の区別が無い３組を、A組とB組とC組への組分けに対応付けるバラエティの数）
＝（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分けるあらゆる組み合わせの数）／（３！）
＝（_６Ｃ_２）（_４Ｃ_２）（_２Ｃ_２）／（３！），
通りである。
（問７の解１おわり）

【問７の解２】
　「組に区別が無い」３つの組は、その組のメンバーによって自動的に区別される。
　各組２人の（区別が無い）３組のうちの第１の組は、６人の中の誰か一人（ａさん）が入っている組である。
その第１の組のａさんが、残りの５人のうちの誰か１人（ｂさん）を選ぶバラエティを計算する。

　３組のうちの第２の組は、残りの４人の中の誰か一人（ｃさん）が入っている組である。
その第２の組のｃさんが、残りの３人のうちの誰か１人（ｄさん）を選ぶバラエティを計算する。

２人残るので、その２人が第３の組を構成する。こうして、組の特徴をメンバーによって区別した、２人ずつの３組（ａさんの組と、ｃさんの組と、それ以外の組）を区別できる。
ゆえに、求める組み分けの数は、

である。
（問７の解２おわり）

《補足》
　問７の、解１と解２が同じ値の解を与え、以下の式が成り立っている。


《組み合わせの構造の対称性》
（事例１）
　【問６】の、（６人を、A組とB組とC組に、各組２人ずつ分ける組み合わせ）の組分けの数は、
（_６Ｃ_２）（_４Ｃ_２）（_２Ｃ_２），

通りあります。
その組分けでは、
A組　　　　　B組　　　　C組
[人1,人2]　 [人3,人4]　 [人5,人6],　　（組分け１）
という組分けと、
[人5,人6]　 [人3,人4]　 [人1,人2],　　（組分け２）
という組分けがあります。
この、２人ずつ３つに分ける組分けには、その３つの組の人数がどれも同じ数であるという対称性があります。
そのため、【問７】で、A組とB組とC組の区別を無くすと、
この組分け１と組分け２は同じ組み分けになって重複します。
このように、A組とB組とC組の区別を無くすと、その対称性のために同じ組分けになって重複する組分けが発生します。そのため、その対称性のバラエティの３！で割り算して重複を無くした組分けの数を数える必要がありました。

（事例２）
　一方で、【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を割り当てる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１），

通りあります。
その組分けでは、
A組　　　　　　　B組　　　　C組
[人1,人2,人3]　 [人4,人5]　 [人6],
という組分けがある。
この、各組の人数が異なる人数が固定された組み分けでは、３つの組の人数がどれも異なって、人数の対称性がありません。
そのため、【問５】で組の区別を無くしても、重複する組分けは発生しません。すなわち、事例２の場合から、Ａ，Ｂ，Ｃという組の区別を無くても、組分けの数が変りませんでした。

（事例３）
　【問４】で、A組に３人、B組に２人、C組に１人を入れる、各組の人数を異なる人数に固定して組み分けする組分けの数は、
（_６Ｃ_３）（_３Ｃ_２）（_１Ｃ_１），

通りあります。
しかし、その組分けでは、A組とB組とC組の人数に偏りがあります。Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせではありませんでした。
Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる場合の組み合わせは、【問３】の場合の組み分けでした。その【問３】の組み分けに、各組の区別を無くしたのが【問５】の組み分けでした。
その【問３】の組み分けでＡ組とＢ組とＣ組を置き換えた組み分けは、【問５】では同じ組み分けになって重複する組分けになります。
　すなわち、組の置き換えに関して対称な組み分けである、組の区別が無い組み分けの数は、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数になりました。
　この関係は普遍的な関係であって、【問６】と【問７】の間でも成り立っていました。すなわち、Ａ組とＢ組とＣ組を入れ替えたあらゆる組み分けを含む【問６】の組み分けの数を、組の置き換えのバラエティの数の３！で割り算した数が、各組の区別を無くした【問７】の組み分けの数になる関係が成り立っていました。

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