勉強しよう数学解答集: 2015

2015年6月24日水曜日

ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にある証明

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】
　複素数ｒとｓとｚに関して以下の式が成り立つとき、
ｒとｓが線分ｏｚに関して対称な位置にあることを示せ。

【解答１】

ベクトルｒとＳの、ベクトルＺへの正射影が等しく、ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直なベクトルへの正射影が、
符号が逆で絶対値は等しい。
そのため、ｒの絶対値とＳの絶対値が等しい。
また、三角形OｒＺと三角形OＳＺは合同である。
そのため、
ｒとＳは線分ＯＺに関して対称な位置にある。
（証明おわり）

【解答２】
以下の関係が成り立つ。

よって、ベクトル（ｒ＋ｓ）がベクトルＺに平行である。
ベクトルｒとＳの和がベクトルＺに平行なので、
ベクトルｒとＳの、ベクトルＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しい。
また、

が成り立つ。
そのためベクトルｒとＳの、線分ＯＺへの正射影が等しい。そのため、ｒとＳは、線分ＯＺに垂直な１つの直線上にある。
また、
ベクトルｒとＳの、線分ＯＺに垂直な成分は、符号が逆で絶対値が等しいので、
ベクトルｒとＳは線分ＯＺに関して対称なベクトルである。
（証明おわり）

【解答３】

上図において、直線OZに関して点ｓと点Ｒが線対称な位置にあるものとする。
その四角形ＯＳＺＲの各点の複素数を複素数ｚで割り算する。
得られた複素数があらわす四角形Ｏ(s2)(z2)(r2)は、四角形ＯＳＺＲに相似な第２の図になる。その点(s2)と点(r2)の複素数は互いに共役な複素数になる。そのため、以下の公式が成り立つ。

（公式の導出おわり）

リンク：
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2015年6月13日土曜日

複素数平面の計算公式を使って円周角の定理を示す

このページは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答１】
　この問題は、ベクトルの難問ですが、
複素数平面の計算公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
先ず、図を以下の図に書き換えて問題を解きます。

上図において、

という関係があることに注目し、
複素数平面の計算公式を適用する。

ここで式の項を置き換えたＡは実数です。
更に計算を進めます。

ここで、Ｂは実数である。
（解答１おわり）

【解答２】
以下の計算公式が成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算ができる。

（解答２おわり）

　以上のように、複素数平面の計算公式により、円周角の定理を簡単に示すことができました。
　ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク：
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
複素数計算の公式を覚える
 高校数学の目次

2015年5月22日金曜日

正５角形の問題の解答

この解答は、ここをクリックした先の問題の解答です。

複素数平面において半径１の円に内接する正５角形を考える。

Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とする。

【問１】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）｜＝５
すなわち、
ａｂａｂ＝５
を証明する。

【問２】以下を証明せよ
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
すなわち、
ａ^２＋ｂ^２＋ｂ^２＋ａ^２＝１０
を証明する。

【問３】図の長さｓを計算せよ

（解答）
【問１】
Ｘ^５－１＝０
の５つの解をＸ_０＝１と、Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３、Ｘ_４とすると、
０＝Ｘ^５－１
＝（Ｘ－Ｘ_０）（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）　（式１）
の関係が成り立ち、
それらの解を複素数平面上であらわした点を結ぶと正５角形になる。
式１を用いると以下の式２が得られる。
問１の式の左辺の絶対値の中の式はその式２のＸを１に置き換えた式の左辺である。
（Ｘ－Ｘ_１）（Ｘ－Ｘ_２）（Ｘ－Ｘ_３）（Ｘ－Ｘ_４）＝（Ｘ^５－１）／（Ｘ－１）
＝Ｘ^４＋Ｘ^３＋Ｘ^２＋Ｘ＋１　（式２）
ここで、
Ｘ＝１
とすると、
（１－Ｘ_１）（１－Ｘ_２）（１－Ｘ_３）（１－Ｘ_４）＝５
（証明おわり）

（解答）
【問２】

Ｘ^５－１＝０
のＸの４乗の項の係数が０であるので、
５次方程式の根と係数の関係から、

式４を式３に代入すると
｜（１－Ｘ_１）｜^２＋｜（１－Ｘ_２）｜^２＋｜（１－Ｘ_３）｜^２＋｜（１－Ｘ_４）｜^２＝１０
（証明おわり）

（解答）
【問３】

ｓ^２＝ＢＣ^２＝ＡＣ^２－ＡＢ^２

ここで、ａは以下のようにして求めることができる。
問１の結果から、
ａ^２ｂ^２＝５　（６）
問２の結果から、
ａ^２＋ｂ^２＝５　（７）
ａ^２とｂ^２を求めるｔの式を根と係数の関係を利用して作る。
０＝（ｔ－ａ^２）（ｔ－ｂ^２）
＝ｔ^２－（ａ^２＋ｂ^２）ｔ＋ａ^２ｂ^２
ここで、式６と式７を代入する。
０＝ｔ^２－５ｔ＋５　（８）
この式８を解く。

ａ^２は式８の解のうち小さい方の値であるので、

式９を式５に代入する。

（解答おわり）

（話の追加）
ｓの長さがわかったので、例えば下図のようにこの長さｓを作図して、その長さを使って正５角形を作図できる。

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2015年5月19日火曜日

複素数平面のベクトル方程式の解

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問】複素数αとβに関して以下の式が成り立つとき、αおよびβそれぞれが複素数平面上で描く図形を求めよ。

【解答】
この問題は、複素数のベクトル方程式です。
なぜなら、以下の様に、２つのベクトルをあらわす複素数の実数係数の和の形のベクトル方程式の形をしているからです。

（１）先ず、複素数のあらわすベクトルが互いに平行では無い、独立したベクトルである場合について解きます。

このとき、このベクトル方程式の解は、互いに独立なベクトルの係数の総和Ａ、およびＢ、が０の解をもちます。

（１－１）このうち、αに関する式は、以下の様に計算できます。

この式は「複素数平面上のベクトルの内積の式」の形をしていて、ベクトルの内積が０になることを表しています。すなわち、αの描く図形は、原点と－２の点を結んだ線分を直径にする円になります。ただし、最初の方程式を成立させるため、原点の０は除きます。

（別解）この式の解釈は、以下の式の変形方法の方が読者になじみが深いのではないかと思う。

よって、ー１の点を中心にした半径１の円を描く（ただし、原点の０を除く）。

（１－２）次に、βの式を計算します。

βは虚軸上の直線を描きます。ただし、原点の０は除きます。

（２）次に、複素数のあらわすベクトルが互いに平行な場合を考えます。

この場合は、以下の様に計算できます。

（解答おわり）

（補足）

　この問題の式が以下の式に変形されている場合も、最初の式の形に、すなわち、２つのベクトルの実数係数の和の形に変形して問題を解けるように練習しておきましょう。

以下の式の場合も同様に、２つのベクトルの実数係数の和の形の最初の式の形に変形して問題を解けるようになりましょう。

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2015年4月28日火曜日

複素数平面を利用して問題を易しくする

この解答の元の問題はここをクリックした先にあります。

【問１】
　xy平面の放物線ｙ＝ｘ^２上の３点P，Q，Rが次の条件を満たしている。
△ＰＱＲは一辺の長さａの正三角形であり、点P，Qを通る直線の傾きは√２である。
このとき、ａの値を求めよ。

【解】
　先ず、この問題を図形に描いてみます。

　次に、この問題の図形がどう変形して問題の条件に合う図形になるか、少し図形を描いて考える。

正三角形ＰＱＲは、線分ＰＱの垂直二等分線上に点Ｒがある。
また、傾き√２の線分ＰＱを、点ＰとＱを放物線上に置いて平行移動させても、線分ＰＱの中点のｘ座標は変わらない。
その中点のｘ座標の値をｂとおく。

　線分ＰＱのｘ軸上への射影の長さを２ｔとする。
そうすると、求めるべき三角形ＰＱＲの辺の長さａは、ｔの２√３倍である。

　このｂとｔを使ってＰ，Ｑのｘ座標をあらわしてみる。

　次に、三角形ＰＱＲが正三角形になる条件を、複素数平面の以下の式で表現する。

この式の意味は、
「点Ｐを中心にして、ベクトルＰＱを、長さを変えずに左回りに（π／３）の角度回転させると、正三角形の頂点Ｒを与えるベクトルＰＲになる。」
という意味の式です。

（このように、複素数平面では複素数の掛け算がベクトルの角度を変えるという性質を利用すると、正三角形になるという条件が楽に導入できました。）

　この式は、実部と虚部をともに一致させる式であるので、２本の式に相当します。
　この式と先の式①（あるいは式②と③）を連立させると、未知な点Ｐ，Ｑ，Ｒの３つの座標を確定させる３つの式がそろった。

　そのため、これらの式を連立させることで問題が解けると考える。

　以下で、この複素数の式を整理して式を単純化する。