勉強しよう数学解答集: 直方体の角の断片の四面体の展開図

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（これも難問だと思う）

　上図の三角形ＡＢＣがある場合に、その三角形ＡＢＣを底面とする四面体で、下図のように、直方体の角Ｈの断片の四面体ＨＡＢＣを作る展開図の直角三角形の頂点Ｈ，Ｈ’，Ｈ’’を作図せよ。

【解答】
（１）図のように、辺ＢＣを中心にして三角形ＢＨＣを回転させて真上（ＡＢＣの面に垂直な方向）から見ると、点ＨはＢＣに垂直な直線上を動くように見える。

ここで、三角形ＢＨＣは、頂角Ｈを直角とする直角三角形なので、辺ＢＣを軸にして回転させると、下図のように辺ＢＣを直径とし点Ｌを中心とする円Ｌ上の点Ｈを頂角とする直角三角形ＢＣＨに重なる。

（２）同様にして、辺ＡＢを中心軸にして直角三角形ＡＢＨを回転させて平面ＡＢＣ上に展開すると下図のように、辺ＡＢを直径とし点Ｎを中心とする円Ｎ上の点Ｈ’’を頂角とする直角三角形ＡＢＨ’’に重なる。

この図で、
円Ｌの半径＝ＬＨ＝ＬＢであり、
円Ｎの半径＝ＮＨ’’＝ＮＢであるので、
三角形ＮＬＨは三角形ＮＬＢと３辺の長さが同じで合同である。
三角形ＮＬＨを直線ＮＬを中心軸にして回転させると、下図のように点Ｈが回転して点Ｂに重なる。

面ＡＢＣの真上から見ると、三角形ＮＬＨを直線ＮＬを中心軸にして回転させる場合に点Ｈが、直線ＮＬに垂直で点Ｂを通る直線上を動くように見える。
直線ＮＬは三角形ＡＢＣの中線なので、辺ＡＣに平行である。
それゆえ、点Ｈは辺ＡＣに垂直で点Ｂを通る直線上を動くように見える。

（３）同様にして、点Ｈを別の直線を軸にして回転させて真上から見ると、以下の展開図のようになる。

三角形ＮＭＨを、直線ＮＭを中心軸にして回転させると、点Ｈは回転して点Ａに重なる。
真上から見ると、点Ｈは辺ＢＣに平行な直線ＮＭに垂直で点Ａを通る直線ＡＨ上を動くように見える。
（４）三角形ＭＬＨを、直線ＭＬを中心軸にして回転させると、点Ｈは回転して点Ｃに重なる。
真上から見ると、点Ｈは辺ＡＢに平行な直線ＭＬに垂直で点Ｃを通る直線ＣＨ’’上を動くように見える。
（５）以上の結果を整理すると、点Ｈの位置を真上から見ると、三角形ＡＢＣの垂心Ｏ上にあるように見える。

（６）三角形ＡＢＣの垂心Ｏ上にある点Ｈを含む三角形ＡＢＨを辺ＡＢを中心軸にして回転させて点Ｈを回転させると、真上から見ると、点Ｈは辺ＡＢに垂直な直線Ｈ’’Ｃ上を動いて円Ｎ上の点Ｈ’’に重なる。
（７）辺ＢＣを中心にして三角形ＢＨＣを回転させて真上から見ると、点Ｈは辺ＢＣに垂直な直線ＨＡ上を動いて点Ｈに重なる。
（８）辺ＣＡを中心にして三角形ＡＣＨを回転させて真上から見ると、点Ｈは辺ＣＡに垂直な直線Ｈ’’Ｂ上を動いて点Ｈ’に重なる。
（９）そのため、求める作図は、下図のようにＡＢを直径とする円Ｎを描き、ＢＣを直径とする円Ｌを描き、ＣＡを直径とする円Ｍを描いて、三角形ＡＢＣの各頂点から対向する辺に垂直な直線を描いて作図する。
（解答おわり）

（補足）
　展開図の直角三角形ＡＢＨ’’の頂点Ｈ’’と直角三角形ＢＣＨの頂点Ｈと直角三角形ＣＡＨ’の頂点Ｈが三角錐ＨＡＢＣの頂点Ｈに重なるので、
それによって、
ＡＨ’＝ＡＨ’’
ＢＨ’’＝ＢＨ
ＣＨ＝ＣＨ’
が成り立つ。
　この問題を、上の３つの等式が成り立つことを証明する問題とした場合は、この展開図が三角錐ＨＡＢＣの展開図であることを証明することを介して証明すると良いと考える。

（補足２）
ＢＨ’’＝ＢＨ
を以下の計算により証明する。
先ず、ＢＨ＝ｘと置いて、
ｘを計算する。