2018年11月24日土曜日

三角関数の分数式の変換公式

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【公式1】 
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式:
が成り立つ事を証明せよ。

なお、角度CをーCに置き換えれば、式1は:
になる。
更に角度Cを(π/2)ーCに置き換えれば、式2は:
になる。

(補足)
 式3の左辺の形を見たら、式3のCを((π/2)ーθ)に置き換えれば、cosC→sinθに変わり、sinC→cosθに変わり、式3は、式2の形の式に変わります。
 そのように角度Cの変数の置換えをするならば、式3の形は式2の形に変換できるので、式3を考える必要がありません。

【証明開始】
式1の中間の辺を以下のように変形する。
(式1の左辺=中間の辺の証明おわり)
(式1の中間の辺=右辺の証明おわり)
(証明おわり)

(補足)
この公式1は、下図において:
MN/MQ=HC/HB
の関係がある事を示している。
それは、
△MNQ∽△HCB
であるので、
成り立っている。
(ここをクリックした先の問題を参照してください)

【公式2】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式4:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
式4又は式4’を変形する:
 この計算を逆にたどることで式4が得られる。
(証明おわり) 

【公式3】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式5:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
式5又は式5’を変形する:
 この計算を逆にたどることで式5が得られる。
(証明おわり)

(補足)
 式5は、以上の様に証明できましたが、そもそも、式5のCを((π/2)ーθ)に置き換えれば、cosC→sinθに変わり、sinC→cosθに変わり、式5は、式4の形の式に変わります。
 そのように角度Cの変数の置換えをするならば、式5の形は式4の形に変換できるので、式5を考える必要がありません。

【公式4】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式6:
及び式7:
が成り立つ事を証明せよ。

【証明開始】
式6は、以下の計算で証明できる。
式7は、以下の計算で証明できる。
(証明おわり)


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