ＸＹ座標系と二等辺三角形に関する問題

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】 

上図のように、ＸＹ座標軸の原点Ｏを頂点にする二等辺三角形ＯＡＢがあり、
ＯＡ＝ＯＢ
である。
辺ＡＢの中点をＭとする。
ＭからＹ軸に平行に引いた直線と、
ＢからＸ軸に平行に引いた直線の交点をＮとする。
ＭからＹ軸に引いた垂線の足をＱとする。
Ｂから辺ＯＡに引いた垂線の足をＨとする。
このとき、
三角形ＱＭＮと三角形ＢＨＡが相似であることを証明せよ。

【証明開始】
ＭＯ⊥ ＭＢ
である。
また、
ＭＱ⊥ＭＮ
である。
よって、
△ＯＭＱ∽△ＢＭＮ
よって、

よって
△ＱＭＮと△ＯＭＢ
の直角をはさむ２辺の比が等しい。
また、△ＱＭＮと△ＯＭＢはいずれも直角三角形であって、１つの角度が直角で等しい。
２辺の比が等しく、その２辺の間の角度が等しいので、
△ＱＭＮ∽△ＯＭＢ　（１）

△ＯＭＢと△ＢＨＡは、

∠ＯＢＭ＝∠ＢＡＨ

であり、あと１つの角度が直角で等しい。

よって、２角が等しいので、

△ＯＭＢ∽△ＢＨＡ　（２）

（１）と（２）より、

△ＱＭＮ∽△ＢＨＡ

（証明おわり）

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