三角形の頂点から垂心までのベクトル

これは、ここをクリックした先の【問２】の解答です。 

【問２】
　下図で、点Ａから垂心ＨまでのベクトルＡＨをベクトルＡＢとベクトルＡＣとであらわせ。



【解答】
先ず、ベクトルｂとｃの内積を求める。

上の式(3)の関係が以下の通り成り立っている


そのため、以下の式(4)と(5)が成り立つ。


ｔも以下のようにして計算する。


結局、以下の式が成り立つ。

（解答おわり）

《補足》
式(8)は覚える必要がないと思う。
この問題を解くために以下の公式が要石になっていることだけ覚えれば良いと思う。


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横国文系2023年大問３の解答

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【問題３】


【解答１】
　先ず、問題の全貌を以下のパターンで俯瞰する。


上図の赤線が３つの面ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＡの全てに交わると理解できる。
　また、平面ＡＢＣが直線ＯＤと交わる点Ｅを想像する。そして、 直線ＯＤと傾きが近い直線ＤＸが各面と交わる点Ｐ，Ｑ，Ｒを以下の図のように想像することができる。


そして、問題文の条件を、以下の式の群に翻訳する。また、点Ｘは三角形ＡＢＣの範囲内にあるので、0≦ｓ≦１、０≦ｔ≦１がわかる。


（１）この答えは、以下のように計算して求める。

これが(1)の解である。
ここで、この解を以下の解(10)に、対称な形の式に変形して問題を俯瞰する。


（２）先に求めた(1)の解を利用して以下の計算によって、パラメータαを求める。

この式で、０≦ｔ≦１から、α＞0だとわかる。

次に、パラメータβを求める。


次に、パラメータγを求める。


以上の計算で、以下の解が得られた。


（３）ｓｔ平面上の点(s,t)の存在範囲を以下のように計算して求める。


この計算結果を使って、以下の図を描く。

ここで、交点Eの座標は、以下の計算で求めるが、その計算は計算用紙での計算に留めて、解答用紙には書かないでも良い。


（４）点Ｘが動く部分の面積Ｓ１を以下の図で描く。


この図から、面積Ｓ１：Ｓ２を求める。

（解答１おわり）

この解により、点Ｐ、Ｑ、Ｒが以下の図の関係にあると理解できる。


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ベクトルで楕円の２つの接線の交点を求める

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【問１】

　原点Ｏを中心にするX軸方向の半径をａとしＹ軸方向の半径をｂとする楕円に対して、
その楕円上の点Ａ（ｘ₁，ｙ₁）から引いた接線と、
点Ｂ（ｘ₂，ｙ₂）から引いた接線の交点Ｐ（ｘ，ｙ）の位置ベクトルを求めよ。


【解１】
楕円の方程式と接線の方程式を、ベクトルの内積の方程式に変換する。

これらのベクトルは、以下の図の関係にある。

ここで、以下の式が成り立つ。

また、ひし形の対角線の直交の公式から、以下の式が成り立つ。

この係数ｋを以下の計算で求めて、点Ｐ’の位置ベクトルを求める。

これから、点Ｐの位置ベクトルを求める。

（解１おわり）

（補足）
　こうして、解１によって、楕円の２接線の交点（極点Ｐ）の位置座標がベクトルの計算によって求められた。この計算を楕円の方程式から直に計算していくと、点Ｐの位置座標は求められはするが、この解の形とは異なる形の式であらわされる解が求められる。その解からは、点Ｐの位置が直線ＯＭ上にあることが直ぐには分からない。その解は、円の極の座標の解の変換の処理をして式の形を変換する必要がある。極点Ｐの解を求めるのは、点Ｐの位置が直線ＯＭ上にあることが直ぐに分かる形の式が最初に得られるので、以上のベクトルの計算をすることが望ましい。

　以下では、実際に楕円の方程式から直に計算すると、どのような計算になるかを、解２で示す。その計算において、その解の変換処理には、２重平行四辺形の面積の公式を使うかわりに、ひし形の対角線のベクトル変換の公式を使って、解の形を直接的に変換する。

【解２】




楕円を上図の円に写像して考える。

接点Ａ’とＢ’とに、以下の式２と３が成り立つ。

楕円の接線の公式により、接点ＡとＢとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。

式４と５を連立させて、２つの接線の交点Ｐ（ｘ，ｙ）を求める。

この式(6)(7)から、点Ｐ’に対して以下の式(8)が成り立つ。

この式の各ベクトルは以下の式で定義されている。


ここで、ひし形の対角線のベクトル変換の公式により、以下の式(9)が成り立つ。

この式(9)を式(8)に代入して、以下の式を得る。

（第２の解おわり）

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円の極の座標の解の変換
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複素数平面で楕円の２つの接線の交点を求める

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【問２】

　複素数平面上の原点Ｏを中心にする虚軸方向の直径を２とし実軸方向の直径を２ａとする楕円に対して、
その楕円上の点ｚ_１から引いた接線と、
点ｚ_２から引いた接線の交点Ｐ₀の位置ベクトルを複素数であらわせ。


【解答】
楕円の実軸上の寸法をａ分の１にした円の問題に変換して問題を解く。



（接点の式）



（ベクトルＯＰとベクトルＯＭが平行である）

式(1)(2)より：


次に、楕円でのＰ₀とＭ₀の位置ベクトルを以下で計算する。


（解答おわり）

（補足）
　２接線の交点Ｐ₀の位置ベクトルと、２接点の中点Ｍ₀の位置ベクトルは平行である。

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円の極の座標の解の変換
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直交するひし形の対角線の方向のベクトル成分を計算する問題

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【問１】
　平面上のベクトルａ，ｂ，ｃの大きさが：

であり、以下の式(1)を満足する場合、

このときベクトルａとｂの内積の最小値と最大値を求めよ。

【解１】
　この解１は最初に考えた解ですが、後に書いた解３の解法を思い付けずに迷い道に入り込んで、やっとのことで解にたどりついた、迷子になった記録です。解１では、未知数である６つの内積に対して、４つの方程式しか無いという間違った認識がある。正しくは、５つの方程式がある。そのため、計算の迷い道に入り込んだ。この解は読まずに、解２以降を参考にすると良いと思います。

　先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。

この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。


-----《補足１》式(5)の方程式に係わる問題の本質--------
　「内点のベクトル方程式から三角形の辺の長さを得る」問題では、ベクトル方程式(1)のベクトルの個数が３つだけだったので、各ベクトルの内積の値が確定した。その理由は、未知数である内積の数が３つあるのに対する内積にかかわる方程式が３つ作れたからである。しかし、この問題の式(5)は、４つのベクトルのベクトル方程式に係る問題である。そして、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。すなわち、方程式の数が未知数の数より１つ少ないため、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。
---------（補足おわり）--------------------

　先ず、この式(5)から、ベクトルＡの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。

次に、ベクトルＢの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。

次に、ベクトルＣの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。

次に、ベクトルＰの項の絶対値の２乗を与える式を計算する。

以上で求めた４つの方程式(7)(9)(11)(12)のうち、式(9)に注目する。

この式(13)は、単位ベクトルＡとＣの和の合成ベクトルとベクトルＰの内積を計算する式である。
　ここで、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルは、ＡとＣの和のベクトルに直交する、ひし形の対角線の直交の公式が成り立つ。そのため、ベクトルＰは式(14)のように、その直交ベクトル系の成分に分解できる。そして、ベクトルＰの絶対値の二乗が式(15)で与えられ、その式を変形すると式(16)が成り立つ。

　以下では、この式(16)の項に代入する式(13)と対になる、もう１つの式を求める。すなわち、単位ベクトルＡとＣの差のベクトルとベクトルＰの内積の式(17)を求める。

この式(17)のベクトルＢとＣの内積を、ベクトルＡとＣの内積の式に置き換える。

ここで、求めるべきベクトルＡとＢの内積の式を未知数ｘに置き換えてあらわし、ベクトルＡとＣの内積の式は変数ｔに置き換えてあらわす。

以上で求めたベクトルＰの直交ベクトルの方向成分の項の式(18)と式(13)を式(16)に代入する。

この式(20)を変形して、未知数ｘを変数ｔであらわす。

（関数ｆ(ｔ)の微分の計算）
後で利用するために、関数ｆ(ｔ)のｔによる微分を計算しておく。

（関数ｆ(ｔ)の概形の把握）

関数ｆ(ｔ)は、－(8t-1)(2t+1)に近い形であって、それを変形した、上に凸な形をしている。その形は、ｔ軸上のｔ＝－１/２の点と、ｔ＝１/８の点を直径の両端とする楕円に似た形である。


（場合１）

この場合の関数１０ｘが最大になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝０の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。


（場合２）

この場合の関数１０ｘが最小になる極値は、関数１０ｘの微分が０になる点であり、その点は、ｔ＝－２／５の点である。その点での１０ｘの値は、以下の値になる。

以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解１おわり）

【解２】
　先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。

この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。


　ベクトル群がこの式(5)を満足している場合に、ベクトルＡとＢの内積は最大値になる極値と最小値になる極値を持つ。
ベクトルＡとベクトルＢの内積の値が極値を持つ場合には、ベクトル群の各ベクトルを微小量変化させた場合に、ベクトルＡとＢの相対位置は、その微小量の２次の微小量しか変化しない。すなわち、他のベクトルが変化する微小量に比べて十分に小さい量しか変化しない。
　その状態において、固定したベクトルＡとＢの位置を基準にして、他のベクトルＣとＰが微小変化する様子を考える。
ベクトルＰはベクトルＰに垂直方向の微小量が変化する。それにともない、ベクトルＣもベクトルＣに垂直方向に微小量で変化する。そのベクトルＰの微小変化とベクトルＣの微小変化は、式(5)を満足するために、互いに打ち消し合う。
　それらの微小変化が互いに打ち消し合うために、ベクトルＰとベクトルＣが平行か反平行でなければならない。
その２つの場合を図示すると以下の２つの図になる。
（場合１）

（場合２）


この場合１と場合２では、ベクトルＡとＢの内積は以下の式で計算できる。
（場合１）

（場合２）

以上により、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解２おわり）

【解３】
　先ず、以下のように単位ベクトルＡ，Ｂ，Ｃを用いて、問題の式を書き替える。

この式(2)が成り立つ場合には、以下の式(4)であらされる関係がある。すなわち、ベクトルの合成が単位ベクトルＰに等しくなる式(4)の関係がある。
そして、式(5)が成り立つ。


　この式(5)を以下の式に変形して計算する。

この式のベクトルＡとＢの内積の最大値と最小値を与えるベクトルCとベクトルＰの関係が存在する。すなわち、両ベクトルが平行になる場合と、反平行になる場合が、式(5)を満足する解として存在する。よって、ベクトルａとｂの内積の最大値は１６であり、最小値は８である。
（解３おわり）

《補足２》
　ここで、以上の計算を、逆に、ベクトルCとベクトルPの内積の最大値と最小値を、ベクトルＡとＢの内積の大きさから求めることはできない。なぜならば、ベクトルＡとＢの両ベクトルが平行な場合は式(5)を満足せず、両ベクトルが反平行な場合も式(5)を満足しない。そのため、ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲がわからないからである。
　ベクトルＡとＢの内積の大きさの範囲は、解３の計算のように、ベクトルＣとベクトルＰの内積の大きさの範囲（－１から１までのフル範囲）を使って求めるものである。

《補足３》
　ベクトルの内積の全貌を俯瞰すると、以下の５つの種類の方程式が作れる。

　この問題では、未知数である内積の数が６つある。その６つの未知数に対して、内積にかかわる方程式が５つ作れる。この認識が重要である。そして、この問題では、方程式の数が未知数の数より１つ少なく、未知数である内積の解に自由度が１つ存在する。

《自力で問題を解くべき》
　補足２の知識が無かった視野の狭さが、解１の迷い道に進んだ原因だった。自力で問題を解き、自分の解き方を分析して、以上の補足１と補足２の知識を見いだして覚えることが、数学を学ぶ秘訣だと思う。

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