勉強しよう数学解答集

2024年1月22日月曜日

複素数平面で三角形の外心を表す問２の悪い解答例

【問２】

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとする場合に三角形の外心Ｐの座標をα､β、ɤ及びその共役の複素数であらわす式を求めよ。

【問２の解答（その１）】（第２の形の解）
（注意）この種の問題を解くときは、下図の点Bが原点の場合の問題を解いて、その解を、図形を平行移動した場合の解に変換して問題を解くのが定石です。
　しかし、以下の解答（その１）では、その定石を守らず無理やり解くと問題の計算量がとても多くなって、とても面倒になる事を示す例として解きます。

　大学の入学試験の限られた試験時間では、面倒な計算をして道草を食っている時間的な余裕はありません。
試験の際には行なわないような面倒な計算の道草は、本番試験や模擬試験では行なわないように、時間的に余裕のあるときに体験しておいて欲しいと思います。
　こういう解き方をすると時間を食う事を知っておくと、試験本番では、この解き方を避けて短時間で解答できる様になると思います。

上図のように、外心Pの座標ρを、実数のパラメータｋとｍを使った２通りの式であらわす。
その２通りの式を等しいとした方程式を立てて、それを解く。

こうして得た実数ｍを式１に代入して外心Pの座標のρを求める。

この式の一部の分子を整理する：

式４の一部の分母を整理する：

（注意）この式は展開すると交代式になる（３つの複素数の交代式を簡単化する公式のページを参照）が、上式のように積の形にした方が簡単であり、扱いやすい。

これらの式５と式６を式４に代入する。

（解答おわり）
　この解答は、定石の形の解答まで変形可能ですが、この形で解答として良いと考えます。

（検算しよう）
　複雑な計算をしているとどこかで計算まちがいをして正しい答えが得られません。そのため、式の計算に間違いをしていないか、以下のようにして検算しておきましょう。
上の計算の式１から式７までの計算を、各変数を以下の具体的値に置き換えて、以下の様に各式を見て、その計算に間違いが無いかを検算しましょう。

以上のように変数に値を代入して検算しましょう。
また、変数に更に別の値を代入して検算を繰り返せば確実です。

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複素数平面で三角形の外心を表す問３の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問３】（第６の解の式）

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとすると、
この三角形の外心Ｐの座標が上式であらわされる事を証明せよ。

【問３の解答（その１）】（第６の解の式）
この問題を、ベクトルＰＭがベクトルＢＡに直交する事、同様にしてベクトルＰＮがベクトルＢＣに直交する事を計算で確認する事で証明する。

Ｐの座標を与える式は以下の式に変形できる。

この式を使って、ベクトルＰＭとベクトルＢＡの内積を計算する。

ベクトルＰＭとベクトルＢＡの内積が０になったので、
ベクトルＰＭとベクトルＢＡは直交する。

Ｐ点の座標を与える式は、αとβとɤが交替している式なので、
ベクトルＰＮとベクトルＢＣの内積も、パラメータを置き換えた計算で同様に０になる事が言える。

よって、点Ｐは三角形ＡＢＣの外心である。
（証明おわり）

【問３の解答（その２）】
（解答のための第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

　この優先順位に従って、図形の考察を優先して、ベクトルPMを、直接に計算して、ベクトルPMがベクトルBAに直交する式、すなわち、ベクトルBAに直交するベクトルを複素数で表した式　ｉ（βーα）の実数倍になる事を示す。

　図形の考察では、ベクトルPMは、ベクトルと図形を平行移動して考えて良いので、β＝０となるように図形を平行移動してベクトルPMを計算する。

ベクトルPMをあらわす複素数は、ベクトルBAをあらわす複素数αの虚数倍である。そのため、ベクトルPMはベクトルBAに直交することが示せた。

ただし、このように図形を平行移動した場合を考えたが、点Pの位置ρをあらわす元の式
ρ＝Ｕ／Ｄ
は、正しい式なのか、図形の平行移動に対応する事ができる正しい式であるかという事が証明されなければならないと考えます。

点Bが原点の場合のベクトルPMの式が上の計算で与えられたので、その式を、点Bが原点以外の場合もあらわす式に変形します。
（「ベクトルで外心を表す種々の式」のページの最後の（補足）の、ベクトルの計算で三角形を平行移動する例も参照）

点Bが原点以外の場合もあらわす式に変形した結果、元の式
ρ＝Ｕ／Ｄ
を得る事ができた。
それゆえ、元の式は、点Bが原点で無い点に平行移動した場合も点Pの正しく平行移動した位置をあらわす式である事が証明できた。

Ｐ点の座標を与える式は、αとβとɤが交代している式なので、
ベクトルＰＮの式も、パラメータを置き換えた計算で同様に計算でき、ベクトルＢＣに直交する式になる。
よって、点Ｐは三角形ＡＢＣの外心である。
（証明おわり）

【問３の解答（その３）】
　第６の形の解が得られる解き方は、以下の解き方が分かり易いです。
外心Pから三角形の頂点までの距離が等しい事から方程式を立てます。

（解答おわり）

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複素数平面で三角形の外心を表す問２の解答（その１）第２の形の解

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問２】

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとする場合に三角形の外心Ｐの座標をα､β、ɤ及びその共役の複素数であらわす式を求めよ。

【問２の解答（その１）】（第２の形の解）

（図形を平行移動して計算を簡単にしよう）
悪い解答例のような複雑な計算を避けるため、
以下の様に、
β＝０に図形を平行移動して、計算を簡単にして解く。

以上の計算で、β＝０に平行移動した場合の外心Pの座標を表す複素数の解（第２の形の式の解）が得られた。
次に、この式１４を、βを０で無い値に戻した図形での解に変換する。
式１４の左辺はρであるが、
その左辺も、右辺と同じく、
α→（α－β）
ɤ→（ɤ－β）
ρ→（ρ－β）
という変換をして計算する。

（一番簡単な解の表現）

以上で解を計算するのが良い。特に式(14)の形が単純なので良い。
　このようにまとまっている式を無理に変形すると、以下のように式の形がきたなくなる。
すなわち、その左辺のβの式を右辺に移項して、右辺の第１項に加えることにする。
すなわち、式１４の第１項は、
ɤ→（ɤ－β）
という変換をした上で、
その結果の式に左辺から移項させたβを加える変換をする。
それ以外の項は、変換のみをする。