複素数平面で三角形の外心を表す問３の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問３】（第６の解の式）

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとすると、
この三角形の外心Ｐの座標が上式であらわされる事を証明せよ。

【問３の解答（その１）】（第６の解の式）
この問題を、ベクトルＰＭがベクトルＢＡに直交する事、同様にしてベクトルＰＮがベクトルＢＣに直交する事を計算で確認する事で証明する。

Ｐの座標を与える式は以下の式に変形できる。

この式を使って、ベクトルＰＭとベクトルＢＡの内積を計算する。

ベクトルＰＭとベクトルＢＡの内積が０になったので、
ベクトルＰＭとベクトルＢＡは直交する。

Ｐ点の座標を与える式は、αとβとɤが交替している式なので、
ベクトルＰＮとベクトルＢＣの内積も、パラメータを置き換えた計算で同様に０になる事が言える。

よって、点Ｐは三角形ＡＢＣの外心である。
（証明おわり）

【問３の解答（その２）】
（解答のための第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

　この優先順位に従って、図形の考察を優先して、ベクトルPMを、直接に計算して、ベクトルPMがベクトルBAに直交する式、すなわち、ベクトルBAに直交するベクトルを複素数で表した式　ｉ（βーα）の実数倍になる事を示す。

　図形の考察では、ベクトルPMは、ベクトルと図形を平行移動して考えて良いので、β＝０となるように図形を平行移動してベクトルPMを計算する。

ベクトルPMをあらわす複素数は、ベクトルBAをあらわす複素数αの虚数倍である。そのため、ベクトルPMはベクトルBAに直交することが示せた。

ただし、このように図形を平行移動した場合を考えたが、点Pの位置ρをあらわす元の式
ρ＝Ｕ／Ｄ
は、正しい式なのか、図形の平行移動に対応する事ができる正しい式であるかという事が証明されなければならないと考えます。

点Bが原点の場合のベクトルPMの式が上の計算で与えられたので、その式を、点Bが原点以外の場合もあらわす式に変形します。
（「ベクトルで外心を表す種々の式」のページの最後の（補足）の、ベクトルの計算で三角形を平行移動する例も参照）

点Bが原点以外の場合もあらわす式に変形した結果、元の式
ρ＝Ｕ／Ｄ
を得る事ができた。
それゆえ、元の式は、点Bが原点で無い点に平行移動した場合も点Pの正しく平行移動した位置をあらわす式である事が証明できた。

Ｐ点の座標を与える式は、αとβとɤが交代している式なので、
ベクトルＰＮの式も、パラメータを置き換えた計算で同様に計算でき、ベクトルＢＣに直交する式になる。
よって、点Ｐは三角形ＡＢＣの外心である。
 （証明おわり）

【問３の解答（その３）】
　第６の形の解が得られる解き方は、以下の解き方が分かり易いです。
外心Pから三角形の頂点までの距離が等しい事から方程式を立てます。

（解答おわり）

リンク：
高校数学の目次