これは、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
１つのさいころを投げ続けて、同じ目が２回連続して出たら終了するものとする。
４回目以内（４回目も含む）に終了する確率を求めよ。
(2006年 北大)
【解１】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
上図で×は終了しない場合、○は終了する場合です。
次に、以下の樹形図を書いて問題を整理する。
樹形図の枝の太さは、その枝の事象の確率を表す。
（補足はじめ）
上の樹形図は、事象を、「（前回と）同じ目」と「（前回と）違う目」という概念で分けた樹形図です。こういう樹形図を書けるのは、樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されていることに起因します。
「糸」の１つは、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。出る目の数で示した数字の連鎖（３３５５）が「糸」の１つです。
この糸は、 樹形図の左から右に、（３・同じ目・違う目・同じ目）という枝を構成するように束ねて樹形図を構成することができます。
この様に、「糸」を自由に再編成することで種々の樹形図を書くことができます。
この糸を再編成する束ね方は、糸の（３３５５）の連鎖の順を樹形図の根元から枝の先までの順に対応させないで、糸を束ねた樹形図を作ることもできます。例えば、（１番目の目・４番目の目・３番目の目・２番目の目）という枝順の樹形図を書くことができます。また、（同じ目が出る回数）の事象で分岐する枝を持つ樹形図を書くこともできます。
（補足おわり）
４回目以内に終了する確率は、
１－（終了しない確率）＝
（解答おわり）
【解２】
答えがすぐ分かる、４回では終了しない（×の）場合の部分樹形図を書いてみます。
もっと整えた樹形図を書きます。
問題の樹形図の木は、６の４乗個の糸に分割できます。
そして、×（４回で終了しない）場合を表す糸は、同じ高さが連続しない糸です。図に赤で書いた線がその糸の１本です。
その糸の本数は、６×５×５×５本あります。
×（４回で終了しない）場合を具体的に表す図を書きます。
次に、求めるべき確率ｋを計算する式を作ります。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。
この箱から２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＸとする。
これらのカードを箱に戻して、
再び２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＹとする。
Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。
(2011年 京都大)
【解答１】
先ず、問題の一部で良いので、とにかく図に書きます。
（１）２つのカード（第１のカード組）を選ぶ全ての場合の数が上図で計算できる。
（２）次に、問題の条件の１つを満足する第１のカード組の具体的な場合を考える。
（２－１）先ず、Ｘ＝８の場合を考える。
（２－２）次に、具体的に、もう１つの条件を満足する第１のカード組を考える。
Ｘ＝１の場合を考える。
（２－３）具体的に、第１のカード組と、第２のカード組同士の、問題の条件を満たす組み合わせを考える。
Ｘ＝１の第１のカード組とＹ＝１の第２のカード組を考える。
問題の条件における、
Ｘ＝Ｙ＝１の条件を満足するカード組の全ての組み合わせの数は、
８×８＝６４通りである。
（３）問題の全貌を表す以下の図の基本樹形図を、自分の頭の中で想像して問題を整理する。
（この図は大きな図で、とても書ききれないのでこの基本樹形図は自分の頭の中で想像するだけにして紙には書かない。）
この基本樹形図から、第１のカード組の１つの事象毎の確率がわかる。
それを２回繰り返した、第１のカード組の事象と第２のカード組の事象との組み合わせの１つ毎の確率は、第１のカード組の１つの事象の確率の２乗ということがわかる。
（４）上図の樹形図を整理した以下の樹形図を頭の中で想像する。
この樹形図では、左側で第１のイベントの事象毎に枝を分岐させ、その枝を一部で束ね、その後に右側の第２のイベントの事象毎に枝を分岐させている。
この基本樹形図のうち、以下の部分樹形図なら紙に書くことができるので、それを紙に書いて状況を整理する。
このように、部分樹形図の枝を構成する事象の連鎖の糸の本数（組合せの数）がわかる。
（５）全てのＸ＝Ｙの第１のカード組と第２のカード組の組み合わせの数（糸の本数）について成り立つ法則を推測する。
問題の条件を満足する組み合わせの数（糸の本数）は、
（９－Ｘ）２通りである。
組合せの数は、カード組の選択を２回繰り返した場合に細分化された基本樹形図の糸（末端の枝でもある）の本数である。
その糸の本数に、第１のカード組と第２のカード組の１つの組み合わせが生じる確率を掛け算することで、
１つの値のＸ＝Ｙを満足するカード組の組み合わせの群の確率が求められる。
次に、求めるべき確率ｋを計算する式を作る。
この式を計算するには、高校２年で学ぶ「数列」の知識が必要です。そのため、この問題が難しかったのです。
次に、確率ｋを計算する最終的計算をします。
（解答おわり）
【解答２】
２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数がＸになる確率をｆ（Ｘ）とし、Ｘの値毎に計算する。
求める確率ｋは、
になる。
よって、求める確率ｋは：
また、
（解答おわり）
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【問１】
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＤ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｃの位置座標を、Ａ（０，０）と、Ｂ （１，０）と、Ｃ（０，√３）とする。
（解答方針）
ベストな解答方針は、余弦定理で解けそうな問題があっても、先ずは正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題を解くよう試みてください。
この方針は、高校２年になってベクトル方程式を学んだ後でも変わりません。問題解答のベストな方針は、ベクトル方程式で解けそうな問題があっても、先ずは正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題を解くよう試みてください。
更に言うと、大学入試の段階に至って、ピタゴラスの定理を駆使して解けそうな問題があっても、先ずは正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題を解くよう試みてください。
正弦定理（又は円周角の定理）は、それだけ優れた画期的手法だからです。
また、この問題の様に、
①三角形の頂点の角度θと
②その頂点に対向する辺の長さａが与えられている場合は、
直ぐに、正弦定理を使って、
③その三角形に外接する円の半径Ｒが、
Ｒ＝ａ／（２ｓｉｎθ）
で求められ、
④その円の中心位置も直ぐに求められる
という事を連想するように発想して下さい。
すなわち、頂角θと対向辺ａが分かっている三角形毎に下図の外接円を想像するようにして下さい。
そして、この図を想像したら、次は、この図の円の中心座標を求めようと考えるように、心を整えておいて下さい。
【第１の解答の試み】
上に書いたベストな解答方針が優れていることを示すために、あえて、このベストな解答方針に逆らって、正弦定理を考えずに、先ず余弦定理で解くことを考えてみます。
先ず、一番ダメな解答の試みを書きます。この試みは途中で解答を断念する道草を食う例ですので、解答にもならないことに付き合いたくない人は、この第１の解答の試みの説明をスキップして次の解答から読み始めてください。
（余弦定理を使って問題の条件を記述する方程式を書く）
先ず、以下の座標軸を考える。
この図の三角形ＤＢＣについて１２０°の角ＢＤＣに関する余弦定理の方程式を作成する。
この式を展開する。
これで、ようやく、余弦定理に角ＢＤＣが１２０°である条件を入れた方程式が作れた。
しかし、この方程式はどうしようもなく複雑で、とても使いこなせそうにありません。
そのため、これ以上の、この方針による解答の試みは断念することにします。
（解答を断念）
【第２の解答】
次も、未だ、ベストな解答方針の正弦定理を使うことに逆らいます。
第２の解答では、ピタゴラスの定理を駆使して問題を解くために、問題の形を変えて、解き易くする工夫をします。
この図形を回転させて、また、相似な図形にして、下図のように線分ＡＤを水平方向に向けた図形で考えます。
この図形は、元の図形に相似な図形であり、ＡＤの長さを１にした図形です。
以下で、この図の三角形ＯＢＣの角Ｏが直角になる条件の方程式１と、三角形ＯＢＣが元の図形ＡＢＣに相似になる辺の条件の方程式２を作って、方程式を解きます。
先ず式１を変形します。
次に、式２を変形します。
式３を以下の式３’に変形して、それを式４に代入して解きます。
次に、この方程式を解きますが、
方程式の１つの解が得られるだけで良く、
簡単な解を推測によって見つけます。
既に、上の式でも、ｓ１＝１を上の式に代入して式が成り立つので、これが解であることがわかります。
この解を以下のように図に書き込みます。
更に座標にかかわる詳しい寸法を計算します。
こうして得られたＤ点の座標を、相似変換することで、元の問題の図形のＤ点の座標を計算します。
（第２の解答おわり）
以上で、苦労して何とか答えを得ることができましたが、この計算はベストな解答方針ではありませんでした。
以下では、ベストな解答方針である、「先ず、正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題が解けないかを考える」に従って問題を解きます。
【ベストな解答（第３の解答）】
三角形ＤＢＣの角Ｄが１２０°であることを正弦定理であらわした式を考えます。そうすると、三角形の外接円の半径が上式で求められます。
円周角の定理を使ってこの外接円を詳しく調べます。
下図のように、外接円に内接する正三角形ＥＣＢを考えます。
円周角の定理を使うと、角ＢＤＥと角ＢＣＥは６０°で等しく、角ＣＤＥと角ＣＢＥは６０°で等しい。
また、外接円の中心Ｍの位置は上図で示す位置にあることが分かります。
この図から、Ｄ点の位置座標を計算する方程式を作って計算します。
この方程式の解は、以下のようになります。
（解答おわり）
以上のように、正弦定理（又は円周角の定理）を使うと問題が簡単に解けました。
このことから、
ベストな解答方針は、余弦定理で解けそうな問題があっても、先ずは正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題を解くよう試みることであることが分かります。
【拡張円周角の定理を思い出す】
拡張円周角の定理によって、三角形の各角度が外接円の点のまわりの角度に反映されることを思い出しましょう。
それを思い出して、点Ｄを円周角上の点であるとして、以下の図のように、点Ｄを円周上に持つ円Ｍと、その円に内接する三角形ＣＢＥを発想します。
この図の関係から、中心Ｍからの半径Ｒの円Ｍと、直線ＡＥの交点Ｄを計算する方程式を立てることで点Ｄの座標を計算することができることが分かります。
その方程式は、上の回答の様に計算します。
この解答方針は、高校２年で学ぶベクトル方程式に対しても、同様に通用します。高校２年のベクトル方程式で解けそうな問題があっても、先ずは正弦定理（又は円周角の定理）を使って問題を解くよう試みてください。
なお、この問題は、余弦定理等を使って解くことは困難ですが、複素数平面を使うと解けます。
複素数平面を使う解き方は、ここをクリックした先のページにあります。
【ベクトルの回転変換の公式を使った解答（第４の解答）】
第４の解答は、正弦定理や円周角の定理で解ける問題はベクトル計算で解くのが難しいというベクトル計算の欠点を、各ベクトルに、それを９０°回転させたベクトルを組み合わせることで補って、ベクトル計算でも問題を解けるようにします。
先ず、Ｄ点を位置ベクトルＺであらわします。また、ベクトルＺを左回りに９０度回転したベクトルＺＶを使います。
ベクトルの回転変換の公式を使って、未知数ｓとｔを使った以下の方程式１１と式１２を作ります。
（この方程式１１と１２には円周角の定理の持つ本質的な情報が含まれています）
式１１と１２を式１５と式１６に変形した。
以下のようにベクトルＺＶを消去してベクトルＺを求めます。
この式１７と式１８を式１６に代入して、ベクトル方程式１９を作り、未知数ｓとｔを求める。
式２０と２１を更に変形する。
ｔ＝０の場合は不適。
ｔ≠０の場合を計算する。
以上で得たｓとｔを式１７に代入して位置ベクトルＺの座標を計算する。
（解答おわり）
【第５の解答】
第５の解答は、正弦定理や円周角の定理で解ける問題はベクトル計算で解くのが難しいというベクトル計算の欠点を、円周角の定理をあらわす式（正弦定理で使う外接円）を、ベクトル計算の外から導入することで補って、ベクトルの問題を解けるようにします。
円周角の定理から、上図の様に、点Ｋを中心にした円が点Ｄを通り、点Ｇを中心にした円が点Ｄを通ります。
この円周角の定理（正弦定理）の結論から、ベクトルＡＤの座標（ｘ，ｙ）が満足する方程式を書きます。
式３と式４の方程式が作れました。
この方程式を以下の様に計算して解きます。
この２つの解のうち、ｘ＝０は不適です。
残りの解により、解を計算します。
（解答おわり）
（補足）
第５の解答では、円周角の定理（正弦定理の外接円）に基づいた方程式１と２（それを表した式３と４）を導入して問題を解いたので、ベストな解答である第３の解答と同じく問題を易しく解ける同質な解答ができました。
第５の解答で作った方程式１と２は、円周角の定理（正弦定理）に基づいて作成した方程式であって、第１の解答の試みにおいて作った余弦定理の方程式とは根本的に異なります。
余弦定理によっては直接には円周角の定理をあらわすことはできません。第１の解答の試みでは円周角の定理（正弦定理の外接円）をあらわす方程式を作れなかったので、解答がとても難しくなりました。
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高校数学の目次
上図で×は終了しない場合、○は終了する場合です。 
樹形図の枝の太さは、その枝の事象の確率を表す。
もっと整えた樹形図を書きます。
問題の樹形図の木は、６の４乗個の糸に分割できます。
次に、求めるべき確率ｋを計算する式を作ります。
（解答おわり）
