極点から引いた円への接線の接点の位置ベクトルの一番簡単な計算

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問０】座標原点Ｏを中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの位置ベクトルを求めよ。

　先ず、この問題の円の中心Ｏから点Ａ（ａ_１，ａ_２）までのベクトルを考えます。

　次に、この問題をもっと易しい問題に変換して解きます。

【問１】以下の点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの位置ベクトルを求めよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわしたベクトルｍが点ＢとＣをあらわす解があります。

　もう１つのやさしい問題を解きます。

【問２】以下の点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの位置ベクトルを求めよ。

このようにベクトルＯＡの長さｆが無限大の場合では、ベクトルＯＢは、その場合に値０を掛け算したベクトルｍと、それに垂直なベクトルｐの和の解になると解釈します。

　もう１つのやさしい問題を解きます。

【問３】以下の点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの位置ベクトルを求めよ。

このようにベクトルＯＡの長さｆが√２の場合では、ベクトルＯＢは、その場合に値が１／√２を掛け算したベクトルｍと、それに垂直なベクトルｐの何倍かの和の解になると解釈します。

　次に、以上で得られた解から、一般的な解を以下のように推測します。

上の式のように、ベクトルＯＢの公式をハッキリした式で推測しました。
　また、この推測の結果は、この公式を導き出すための基準にするベクトルはベクトルｍとそれに垂直なベクトルｐを基準にしたら良いと示唆するという重要な指針（計算のガイド）を含んでいます。
 
　これで得た公式は推測であって、本当にこの式になるかの確証があるわけではありません。
　しかし、これで、公式の答えを予測できたので、正式な計算で公式を計算する道しるべができたという意味があります。
　このように、答えを予測する計算は、初めて未知の問題を解くときに大切な一歩であり、必要な計算です。是非、答えの予測計算を心がけて欲しいと思います。

　次に、正式な計算方法でこの公式を求めます。
 
【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルＯＢとＡＢとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルＯＢとＡＢを、互いに垂直な単位ベクトルｍとｐの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルＯＢとＡＢが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

　以下の図のような図を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＯＢをあらわす公式を計算します。 

ここで、互いに直交するベクトルｍとｐと未知数ｓとｔでベクトルＯＢをあらわす。

  ベクトルＯＢとベクトルＡＢが直交するベクトル方程式を作って、それを解きます。

　このベクトルＯＢの式の形を整えるにあたって、先に予測した式になっているかを確かめながら、予測した式になるように式を変形しました。
　その結果、予測通りの式が得られました。
　この結果を使って、ベクトルＯＢが以下の図のようにあらわせます。

（計算を振り返ってどこが良かったかを考える）
　以上の計算で大事なポイントは、先に公式の解の形を予測してから正式な計算に取りかかった事でした。答えを予測してから正式な計算をしたことで、正式な計算が、「本当に予測通りの答えを導き出せるのか」という期待に背中を押されて計算できました。

　そして、式を計算していく過程で、どういう形の式に答えを導くべきかの目標がはっきりしているので、式を何に置き換えてまとめ上げるかの道に迷わず、答えを得ることができました。

　すなわち、先に予測していた事が、式を次にどのような形に変形したら良いかというガイドになりました。
　このガイドが無ければ、式の計算が最後の形にまで変形できなかったかもしれませんので、先に行なった解の推測の計算がとても大切な役割を果たしました。
 　特に、先に行なった解の推測の計算は、問題を解くために、どのベクトルを基準にしたら良いかを示唆するという重要な指針を含んでいますので、問題を解くためにとても大切な役割を持っていました。

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原点の回りに回転した楕円の方程式から楕円の軸を計算する

この解答は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
以下の方程式で表される図形が、回転した楕円であるか、回転した双曲線であるか、２本の直線であるかを判定する条件を求めよ。

 
【解答】
式１を以下のように変形して式２を求める。
この式２が無限に大きいｘとｙとで成り立ち得るか否かを考える。それが成り立たなければ、この式２で表される図形は双曲線にはならず、楕円である。

よって、以下の式で図形の形が判別できる。

（解答おわり）

【問２】
原点の回りに回転させた楕円の方程式から楕円の軸を計算せよ。
　すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Ｆを使って、以下の式であらわしたとき。

このように、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使ったＸ座標とＹ座標の関数で楕円があらわされたとき、
そのベクトル関数Ｆは、Ｘ座標の方向の単位ベクトルｘと、Ｙ座標の方向の単位ベクトルｙを、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考えることができる。

 このベクトル関数によってベクトルの方向が変えられないベクトルｇとｈは、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしていると考えられる。

　その軸方向のベクトルｇとｈの、ｘ座標軸と成す角度θのタンジェントｔａｎθを求めよ。

【解答】
　そのベクトルｇ（又はｈ）を以下の式であらわし、以下のベクトル方程式を作る。
ここで、ベクトルｇとｈは、ベクトル関数Ｆによって方向が変えられず、それぞれ異なる倍率λ倍に長さが拡大される。
　そのように関数Ｆによって方向が変わらないベクトルｇ（又はｈ）を以下のようにベクトル方程式を設定することで求める。

上の連立方程式が得られた。
この式がＸ＝Ｙ＝０以外のＸとＹの解を持つためには以下の式が成り立つ必要がある。

ここで、Ｙ／Ｘは求めるｔａｎθである。λの値が求められるとｔａｎθの値も求めることができる。
λを以下のように計算しｔａｎθを計算する。

これでｔａｎθが計算できた。
これによりベクトルｇとｈの角度θがわかったのであるが、
この答えが正しいかどうかを以下にように検算する。
ベクトルｇとｈは互いに垂直であるので、この答えでベクトルｇとｈの内積を計算して、それが０になるかどうかを確認する。
 

上の計算で、たしかに、ベクトルｇとｈの内積は０になり、両ベクトルが直交することが確認できた。

（補足）
以下で計算した結果の、ｔａｎ(２θ)をＡ，Ｂ，Ｃであらわす式は覚えやすい形をしている。

（補足２）
 　この式は、Ａ，Ｂ，Ｃを定義した式（設問以前の解説を参照）から、以下のようにして導き出すこともできました。 

（補足３）
 　この問題は、グラフをあらわす式の１／ｂ^２を－１／ｂ^２に置き換えたグラフに対しても使える解き方です。すなわち、双曲線をあらわす式に対しても、その双曲線の軸ベクトルを求める方法としても使えます。

（補足４） 
　楕円の軸の回転角度θを与えるこの式は、何度おぼえても忘れます。その忘れ対策として、この式を以下の様にして素早く導き出しましょう。
（回転した楕円の式の係数２Ｂは、以下の計算ではＢとしています。以下では、係数Ｂの定義が異なることに注意。）

先ず、上の図を思い描きます。
極座標で表した動径ｒが最大または最小になる角度α＝θです。
そのため、以下のようにして動径ｒの微分の式を作ります。 

この式２の微分をｆ（α）の式に行います。

この式４が求める回転角θを与える式です。

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三角形の垂心の位置ベクトルをあらわす元のベクトルを何にするか

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

ページ内リンク：
▽解の推測の計算
▽一番簡単な解き方の秘訣
▽第１の解
▽解の変形
▽第２の解

【問０】三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

　この問題をもっと易しい問題に変換して解きます。

【問１】以下の直角三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわしたベクトルＤＯの長さｍの解
ｍ＝ｈ
があります。

　もう１つのやさしい問題を解きます。

【問２】以下の直角三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

このようにベクトルＤＯの長さｍが０になる条件が成り立っている場合では、その条件の場合に値が０になる辺ａ１とａ２の積の項と他の何かの項（？）の積でベクトルＤＯの公式を推測します。他の何かの項（？）は未だ分からないでも良いと判断します。

　次に、問１の条件が成り立っている時に、問２で推測したベクトルＤＯの長さｍの公式が問２で得た解に等しくなるように、他の何かの項（？）を定めて以下の式を求めました。

こうして、上の式のように、ベクトルＤＯの長さｍの公式をハッキリした式で推測しました。
　また、この推測の結果は、この公式を導き出すための基準にするベクトルはベクトルａとそれに垂直なベクトルを基準にしたら良いと示唆するという重要な指針（計算のガイド）を含んでいます。
 
　これで得た公式は推測であって、本当にこの式になるかの確証があるわけではありません。
　しかし、これで、公式の答えを予測できたので、正式な計算で公式を計算する道しるべができたという意味があります。
　このように、答えを予測する計算は、初めて未知の問題を解くときに大切な一歩であり、必要な計算です。是非、答えの予測計算を心がけて欲しいと思います。

　次に、正式な計算方法でこの公式を求めます。
 
【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルＢＯとｂが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルＢＯとｂを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルＢＯとｂが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

【第１の解】
　ここでは、この一番簡単な解の秘訣に従わないで、問題を解いてみます。すなわち、ここでは、「（１）それらのベクトルＢＯとｂを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわす」ことをしないで、ベクトルＢＯを互いに垂直とは限らないベクトルａとｂであらわして問題を解いてみます。

　つまり、先に行なった予測計算の結果が示唆している、「基準にするベクトルとして、 ベクトルａとそれに垂直なベクトルを基準にしたら良いという重要な示唆」をあえて無視してみます。 

≪この示唆を無視しない解き方は、ここをクリックした先にあります≫

（単位ベクトルを使わずとも、ベクトルａとそれに垂直な何かのベクトルを使うだけで解答がし易くなりますが、それもしないことにします）

　以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＤＯの長さｍの公式を計算します。

ここで、ベクトルａとｂを元ベクトルにして上の式のようにベクトルＢＯをあらわすことにする。
この答えはどの様になるか、以下で調べます。

ベクトルＢＯとベクトルｂが直交するベクトル方程式と、ベクトルＡＯとベクトルａが直交するベクトル方程式を作ります。

　以下でこの連立ベクトル方程式を解いて変数ｓとｔを計算します。

（第１の解おわり）

　この答えにより、上の式のように、ベクトルＢＯがベクトルａとｂとであらわせました。

　しかし、この答えでは、先に予測した公式が見えません。このようにベクトルａとｂを元にした式では、先に予測した公式を表現することができないということがこの答えによってハッキリ分かりました。

【解の変形】
　そのため、答えを表現するための基準にするベクトルを、以下の図のように、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙに変更します。

　このベクトルｘとｙを使って、先に求めたベクトルＢＯの解を変形します。

（解の変形おわり）

　この解により、先に予測していたベクトルＤＯの長さｍが以下の図のようにあらわせました。

【第２の解】
　ベクトルａとそれに垂直なベクトルｈを使って、すなわち、単位ベクトルではないが互いに垂直なベクトルを使った解答を、
最初から述べます。

ここまでの計算は、以下の計算をするだけでも良かった。

次に、ベクトルＢＯとベクトルｂが直交する条件（内積が０）を導入して未知数ｐを求めます。

（第２の解おわり）

以上で、垂心Ｏ点の高さを与えるベクトルＤＯの計算が、比較的簡単にできました。

（計算を振り返ってどこが良かったかを考える）
　以上の計算で大事なポイントは、先に公式の解の形を予測してから正式な計算に取りかかった事でした。答えを予測してから正式な計算をしたことで、正式な計算が、「本当に予測通りの答えを導き出せるのか」という期待に背中を押されて計算できました。

　そして、式を計算していく過程で、どういう形の式に答えを導くべきかの目標がはっきりしているので、式を何に置き換えてまとめ上げるかの道に迷わず、答えを得ることができました。

　すなわち、先に予測していた事が、式を次にどのような形に変形したら良いかというガイドになりました。

　先の予測の結果で、ベクトルａに垂直な方向のベクトルＤＯの長さの公式が予測されていました。この予測のガイドに忠実に従うならば、最初から、ベクトルａに平行な単位ベクトルｘと単位ベクトルｙを基準のベクトルにしてこの問題を解くべきでした。
　もし、そうしていれば、もっと簡単にこの公式を導き出すことができました。
　そのように、先に行なった解の推測の計算は、問題を解くために、どのベクトルを基準にしたら良いかを示唆するという重要な指針を含んでいますので、問題を解くためにとても大切な役割を持っていました。

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三角形の垂心の位置ベクトルの計算

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

　ここでは、この一番簡単な解の秘訣に従わないで、問題を解いてみます。すなわち、ここでは、「（２）ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作る」ことをしないで、別のベクトル方程式を作って問題を解いてみます。

【問０】三角形の垂心Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

【解答】
以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＤＯの解の公式を計算します。 

　ここで、互いに直交する単位ベクトルｘとｙでベクトルｂをあらわすと、そのベクトルｂを９０度回転させたベクトルｐを上の式のように定義して作ることができます。
　ベクトルｂを９０度回転させたベクトルｐは、ベクトルｂの成分を入れ替えて、片方の成分をマイナスにすることで作れます。

　また、ベクトル（－ａ）とベクトルｂの成す角度∠ＣのｃｏｓＣをβとおいて、以下のように式を整理しておきます。

　このベクトルｐを使って、三角形の垂心Ｏを与える以下のベクトル方程式を作ります。 

　以下のように、べクトル　ＣＯを２つの経路であらわして、その２つの式のベクトルＣＯが等しいものとして、ベクトル方程式を解きます。 

ここで、上の式の未知数ｂ_１については、より確かな数βを使って消去しました。次に、２つの式のベクトルＣＯが等しいとしたベクトル方程式を作ります。

上の式のように、ベクトルを与える未知数ｍとｕを計算する連立方程式が得られました。
この連立方程式から、以下のように、ｕを消去してｍを与える式を求めます。 

　この結果を使って、ベクトルＤＯが以下のようにあらわせます。

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