三角形の外接円の中心の位置ベクトル

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問０】三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

　この問題をもっと易しい問題に変換して解きます。

【問１】以下の直角三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわした解があります。

　もう１つのやさしい問題を解きます。

【問２】以下の直角三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

このように簡単化した問題は、すぐ上の式であらわした解があります。

　もう１つのやさしい問題を解きます。

【問３】以下の直角三角形の外心（外接円の中心）Ｏの位置ベクトルをもとめよ。

このようにベクトルＨＯが０になる条件が成り立っている場合では、その条件の場合に値が０になるベクトルｃとｂの内積の項と他の何かの項（？）の積でベクトルＨＯの公式を推測します。他の何かの項（？）は未だ分からないでも良いと判断します。

　次に、問２の条件が成り立っている時に、問３で推測したベクトルＨＯの公式が問２で得た解に等しくなるように、他の何かの項（？）を定めて以下の式を求めました。

こうして、上の式のように、ベクトルＨＯ解の公式をハッキリした式で推測しました。

　これで得た公式は推測であって、本当にこの式になるかの確証があるわけではありません。
　しかし、これで、公式の答えを予測できたので、正式な計算で公式を計算する道しるべができたという意味があります。
　このように、答えを予測する計算は、初めて未知の問題を解くときに大切な一歩であり、必要な計算です。是非、答えの予測計算を心がけて欲しいと思います。

　次に、正式な計算方法でこの公式を求めます。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

以下では、この秘訣の（２）は使わないで問題を解いてみます。

以下の図のような三角形を考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＨＯ解の公式を計算します。
（頂点の名前ＡとＣをベクトルの名前に合わせて付け替えました）

ここで、互いに直交するｘ方向とｙ方向の単位ベクトルｘとｙで全てのベクトルをあらわし、ベクトルｃを９０度回転させたベクトルｍを以下のようにして作ることができます。

ベクトルｃを９０度回転させたベクトルｍは、そのベクトルの成分を入れ替えて、片方の成分をマイナスにすることで作れます。

　このベクトルｍを使って、三角形の外接円の中心Ｏを与える以下のベクトル方程式を作ります。 

以上のように、べクトルＢＯを２つの経路であらわして、その２つの式のベクトルＢＯが等しいものとして、ベクトル方程式を解きます。 

下の式のように、ベクトルを与える未知数ｈとｕを計算する連立方程式が得られるので、その連立方程式から、以下のように、ｕを消去してｈを与える式を求めます。 

　このｈの式の形を整えるにあたって、先に予測した式になっているかを確かめながら、予測した式になるように式を変形しました。特に、最後の式の変形で、式をベクトルｃとｂの内積の形に変形するのは、予め答えを予測していないと、なかなか思いつけないと思います。
　その結果、予測通りの式が得られました。
（この式は裏正弦定理の式です）
　この結果を使って、ベクトルＨＯが以下のようにあらわせます。

（計算を振り返ってどこが良かったかを考える）
　以上の計算で大事なポイントは、先に公式の解の形を予測してから正式な計算に取りかかった事でした。答えを予測してから正式な計算をしたことで、正式な計算が、「本当に予測通りの答えを導き出せるのか」という期待に背中を押されて計算できました。

　そして、式を計算していく過程で、どういう形の式に答えを導くべきかの目標がはっきりしているので、式を何に置き換えてまとめ上げるかの道に迷わず、答えを得ることができました。

　すなわち、先に予測していた事が、式を次にどのような形に変形したら良いかというガイドになりました。
　このガイドが無ければ、式の計算が最後の形にまで変形できなかったかもしれませんので、先に行なった解の推測の計算がとても大切な役割を果たしました。

リンク：
裏正弦定理
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