原点の回りに回転した楕円の方程式から楕円の軸を計算する

この解答は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
以下の方程式で表される図形が、回転した楕円であるか、回転した双曲線であるか、２本の直線であるかを判定する条件を求めよ。

 
【解答】
式１を以下のように変形して式２を求める。
この式２が無限に大きいｘとｙとで成り立ち得るか否かを考える。それが成り立たなければ、この式２で表される図形は双曲線にはならず、楕円である。

よって、以下の式で図形の形が判別できる。

（解答おわり）

【問２】
原点の回りに回転させた楕円の方程式から楕円の軸を計算せよ。
　すなわち、回転した楕円の方程式を、位置ベクトルに対するべクトルの関数Ｆを使って、以下の式であらわしたとき。

このように、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使ったＸ座標とＹ座標の関数で楕円があらわされたとき、
そのベクトル関数Ｆは、Ｘ座標の方向の単位ベクトルｘと、Ｙ座標の方向の単位ベクトルｙを、系数Ａ，Ｂ，Ｃを使った以下の式で新たなベクトルに変換する関数であると考えることができる。

 このベクトル関数によってベクトルの方向が変えられないベクトルｇとｈは、以下の図であらわすように、回転した楕円の軸方向のベクトルを表わしていると考えられる。

　その軸方向のベクトルｇとｈの、ｘ座標軸と成す角度θのタンジェントｔａｎθを求めよ。

【解答】
　そのベクトルｇ（又はｈ）を以下の式であらわし、以下のベクトル方程式を作る。
ここで、ベクトルｇとｈは、ベクトル関数Ｆによって方向が変えられず、それぞれ異なる倍率λ倍に長さが拡大される。
　そのように関数Ｆによって方向が変わらないベクトルｇ（又はｈ）を以下のようにベクトル方程式を設定することで求める。

上の連立方程式が得られた。
この式がＸ＝Ｙ＝０以外のＸとＹの解を持つためには以下の式が成り立つ必要がある。

ここで、Ｙ／Ｘは求めるｔａｎθである。λの値が求められるとｔａｎθの値も求めることができる。
λを以下のように計算しｔａｎθを計算する。

これでｔａｎθが計算できた。
これによりベクトルｇとｈの角度θがわかったのであるが、
この答えが正しいかどうかを以下にように検算する。
ベクトルｇとｈは互いに垂直であるので、この答えでベクトルｇとｈの内積を計算して、それが０になるかどうかを確認する。
 

上の計算で、たしかに、ベクトルｇとｈの内積は０になり、両ベクトルが直交することが確認できた。

（補足）
以下で計算した結果の、ｔａｎ(２θ)をＡ，Ｂ，Ｃであらわす式は覚えやすい形をしている。

（補足２）
 　この式は、Ａ，Ｂ，Ｃを定義した式（設問以前の解説を参照）から、以下のようにして導き出すこともできました。 

（補足３）
 　この問題は、グラフをあらわす式の１／ｂ^２を－１／ｂ^２に置き換えたグラフに対しても使える解き方です。すなわち、双曲線をあらわす式に対しても、その双曲線の軸ベクトルを求める方法としても使えます。

（補足４） 
　楕円の軸の回転角度θを与えるこの式は、何度おぼえても忘れます。その忘れ対策として、この式を以下の様にして素早く導き出しましょう。
（回転した楕円の式の係数２Ｂは、以下の計算ではＢとしています。以下では、係数Ｂの定義が異なることに注意。）

先ず、上の図を思い描きます。
極座標で表した動径ｒが最大または最小になる角度α＝θです。
そのため、以下のようにして動径ｒの微分の式を作ります。 

この式２の微分をｆ（α）の式に行います。

この式４が求める回転角θを与える式です。

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