任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題

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　任意の整数ｎに対するｘの方程式が整数解を持つ問題は、ｎの絶対値が十分大きい場合を考えて解くと問題が解き易くなります。

【問題１】
ａは実数の定数とする。任意の整数nに対する次のxの方程式が整数解を持つようなａの値をすべて求めよ。


【解答１】
　この問題は、ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解く。また、この問題の条件は、式(1)が少なくとも１つの整数解を持つだけで良いとみなして解く。

先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

|n|が十分に大きい場合に、有限の値のxの解があるならば、上の式(2)は以下の式に収束する。

nの絶対値が十分に大きい場合には、式(2)の解は以下の値程度になると計算できる。

　式(2)のこの解は、有限の値のｘの解を持つ。また、この解は、式(3)の整数解とわずかしか異なることができない。その式(2)が１つの整数解を持つ場合は、その１つの整数解は、式(3)の２つの整数解のいずれか１つの整数解にしか成り得ない。式(3)のｘの整数解は、
ｘ＝０，ー１
の２つがある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
　いずれの場合でも、式(2)の第１項と第２項の和が式(3)の左辺と同じなので、式(2)が式(3)の解のうちの１つを持つ場合は、第１項と第２項の和が０になる。また、そのときに式(2)が０になるため、残りの第３項も０になる。それは、以下の式(4)の条件が成り立つことを意味する。その式(4)によって a の解が定まる。


このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答１おわり）

【解答２】
　この問題は、ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解く。また、この問題の条件は、式(1)が少なくとも１つの整数解を持つだけで良いとみなして解く。

先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

|n|が十分に大きい場合に、（1+(3/n)）が１に収束するので、上の式(2)は以下の式に収束する。

そのため、式(2)の解は、|n|が十分に大きい場合にこの収束した式の解に近い解を持つ。その解が整数解を持つならば、この収束した式の整数解の、ｘ＝０、または、ｘ＝ー１を解に持つ可能性がある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝０を代入する。

a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝－１を代入する。

a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。

このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答２おわり）

【解答３】
先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

nの絶対値が十分に大きい場合には、式(2)の解は以下の値程度になると計算できる。

　式(2)のこの解は、有限の値のｘの解を持つ。この解は、|n|が十分に大きい場合に整数解を持つならば、ｘ＝０、または、ｘ＝ー１を解に持つ可能性がある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝０を代入する。

a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝－１を代入する。

a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。

このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答３おわり）

（補足１）
　論点を明確にする解をつきつめた結果、解答３の方が、解答１よりも単純かつ明快な解答になった。解答１の論理を工夫して解答２が作れた。解答２の方が解答３よりも単純な解答になった。

（補足２）
　この問題で、式(2)が１つの整数解を持っても、式(2)のもう１つの解は整数解ではなく、それはｎに依存する解になることに注意すべき。式(2)の解はｎに依存する解である。定数ａを定めると、式(2)の解のうちの１つを整数解にするだけである。定数ａの値を所定の値にすると式(2)の全ての解が整数解になるという解釈は間違っている。

（補足３）
　ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解いたが、ｘの整数解がｎの関数になるということは起こらなかった。そのかわり、整数解以外のｘの解はｎの関数になった。
　ｘの整数解がｎの関数になるような式は、例えば (x-n)(x-2n)=0 という方程式のように、ｘの１次の係数がｎの倍数になるような式でなければあり得ないことだとも思う。例えば、方程式：

が任意のｎで整数解を持つような実数aの条件を求めよ、
という問題ならば、ｘの整数解がｎの関数の整数解を持つ問題になると思う。

【問題２】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(2)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

【解答】
自然数ｎが十分に大きい場合に、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(2)が成り立った。
　この式(2)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答おわり）

【問題３】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(4)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

【解答１】
自然数ｎが定数ａよりも十分に大きい場合に、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(4)が成り立つ。
　この式(4)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答１おわり）

【解答２】
自然数ｎが定数ａよりも十分に大きい場合に（式(2)）、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(4)が成り立つ。
　この式(4)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答２おわり）

（補足）
　この問題３の定理は、公式だと言ってしまいたい定理です。しかし、この定理を使うときは上記のようにきちんと定理を証明して使う必要があります。

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