勉強しよう数学解答集: 複素数平面のベクトル方程式での垂心の導出

このページは、ここをクリックした先の問題の解答です。

　複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
（実際、ベクトルＰを複素数ｘ＋ｉｙと等号で結ぶ表現をすることもあります。)

以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問題１】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の３点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その３点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数ｈを求めよ。

【解答１】

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。
点Ａから垂心Ｈまでのベクトルをあらわす複素数は、実数ｋのパラメータを使って：
ｉｋ（ベクトルａ）
であらわせます。
すると、
ベクトルＢＨとベクトルｂが垂直なので、両ベクトルの内積が０になる方程式を作れます。
その方程式を、以下の様に複素数を使って解く事ができます。

これで、実数のパラメータｋの値が得られました。
これをｉｋ（ベクトルａ）の式に代入して計算します。

ここで、以下の、複素数平面の公式を使って計算を進めます。
（公式１）
　２つの任意の単位ベクトルに関して、以下の公式を導き出すことができます。

以下の式も成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算をします。

この式を使って、ｉｋ（ベクトルａ）の式の計算を続けます。

こうして、三角形の垂心の位置を表す複素数ｈをあらわす式を求める事ができました。
（解答１おわり）

【解答２】

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。

ベクトルＢＨをあらわす複素数は、実数ｋと実数ｓを使って２通りにあらわせます。
そのベクトル方程式を、以下の式のように複素数であらわす。（ベクトルｃを複素数であらわす）。そして複素数計算での、ベクトルｃとの内積の計算をする。それにより、ベクトルｃに垂直なベクトルを除去し未知の実数ｓを除去して計算を進める。

これで、実数のパラメータｋの値が得られました。
これを使ってベクトルＡHを計算します。

ここで、解答１で示した公式１を使って、以下の計算をします。

この結果を使って、ベクトルＡＨの計算を続けます。

こうして、三角形の垂心の位置を表す複素数ｈをあらわす式を求める事ができました。
（解答２おわり）

（補足１）
　この解は、ベクトルで垂心位置を計算するときにとても苦労していた問題を、複素数平面の計算によって簡単に解けるようになったことを意味する。

（補足２）
　複素数平面のベクトル方程式f=0の計算のコツは、
0=Re((f)(g'))というふうに、式 f に、ある複素数gの共役複素数g'を掛け算した式の実数成分を求める式を作る。すなわち、複素数平面におけるベクトルfとベクトルgの内積を計算する。その式の中で掛け算するg'は、1/g にしても良い。1/g はgの共役複素数に平行だからである。
　それにより、式 f に含まれる、ベクトル g に垂直なベクトル成分を除去する。

【問題２】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径１の円がある。その円上の異なる3点A(α)、B(β)、C(γ)が作る三角形の点Aから直線BCへ下ろした垂線の足をH(ε)とする。点Hの位置をあらわす複素数εを、点A,B,Cの位置から導き出す式を求めよ。

【解答】

上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。

　ベクトルｃは、ベクトルａと実数ｘの積のベクトルと、ベクトルａに垂直なベクトルと実数ｙの積のベクトルとの和であらわせる。ベクトルａを複素数ａであらわす。
そのベクトル方程式とベクトルａの内積をとって、方程式から未知の実数ｙを除去して解く。