三角関数の２乗の差の公式の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題の三角関数の２乗の差の公式は、
「単位ベクトルの要素の２乗の差の公式」
と同じものです。

【問１】以下の公式を証明せよ

（証明開始）

【問２】以下の公式を証明せよ

（証明開始）

【問３】以下の公式を証明せよ。


（証明開始）

（証明おわり）

式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、以上の計算方法を覚えておいて、すぐ、このように式を変形できるようになっていてください。

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２倍角と半角の公式 練習問題（１）の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【難問】三角形ＡＢＣにおいて、
ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ≦（１／８）　（式１）
を証明せよ。そして、△ＡＢＣが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
 
（予備知識）
加法定理（２倍角と半角の公式）を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。

そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。

この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。

（解答）
（求める答えを、より易しい答えにできないかを考える）
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣの式は角度がＡとＢとＣとの３つもあるから難しい。そのため、考えなければならない角度の数を減らした問題に、問題をかみくだいて考える。

角Ａを固定して、角Ｂと角Ｃだけを考えて、式１が最大になる場合を考える。
その場合、角Ｂ＝角Ｃ＝（π－Ａ）／２＝αの場合に式１が最大になるだろうと予測できる。

角Ｂと角Ｃをαと補正角βとであらわす。
α＝（π－Ａ）／２　（式２）
Ｂ＝α＋β　（式３）
Ｃ＝α－β　（式４）

式１の左辺をＤとおく。

この式の括弧（）内に、

を加える。

式５が最大になる場合は、β＝０の場合である。その場合は、

ここで、半角の公式を使う。

式６のＤが最大になる場合は、β＝０、かつ、ｃｏｓＡ＝（１／２）になる場合であって、そのＤの最大値は（１／８）。
ｃｏｓＡ＝（１／２）の場合は∠Ａ＝π／３＝６０°

また、β＝０の場合、
∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°
すなわち、正三角形の場合にＤは最大値になる。
正三角形以外の場合は、式６と式５から、Ｄ＜（１／８）である。
（証明おわり）

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三角関数の数列の問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】以下の三角関数の式を簡単にせよ。
ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（２θ）＋ｃｏｓ（３θ）＋ｃｏｓ（４θ）＋ｃｏｓ（５θ）

（解答）
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

分数式ですが項数が減ったので、式が簡単になった。
なお、ここで、ｓｉｎ（１１θ／２）＝０になるようなθの値であれば、この式は、定数（－１／２）になる。
例えば、θ＝２π／１１の場合などに、そうなる。

（補足）
　以上の計算は複雑で、もっと簡単にならないかという、もどかしさがあります。
大学でオイラーの公式を学ぶと、この問題は、オイラーの公式を使って以下の様に、自然な流れで解けます。
なお、オイラーの公式を理解しているならば、大学入試の解答で、以下の解答を書いても合格点をもらえると思います。
（解答開始）
オイラーの公式により：

 （解答おわり）

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ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθの変形の練習問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
以下の式１を満たすθの値を求めよ。

【解答】

ここで、変数θを以下の変数αに置き換える。

式２を以下の様に変形する。

ここで sin(α) を変数ｔに置き換える。

式５を以下の様に変形する。

この式７を解く。

式９の解を単位円を利用して解く。

（解答おわり）

【別解】

この式の両辺を２乗する。

式１２を解くために、sin(2θ)をｔに置き換える。

 この式１５によりｔが求められた。

単位円を使って式１７を満足するθを求める。

式１８、式１９、式２０のθの解のうち、式１を満足する解を選別する。

選別の結果の角度θの解が、以下の式２１、式２２、式２３であらわされた。

（解答おわり）

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三角形の３頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】

上図の三角形ＡＢＣ内の点Ｘから頂点Ａ，Ｂ，Ｃに引いたベクトルａ，ｂ，ｃの間に式１の関係が成り立つ場合に、
そのベクトルの張る三角形の面積の間に式２の関係が成り立つことを証明せよ。

  【証明（その１）】

上図の様に、ベクトルｃに垂直なベクトルｃ_ｖを考えて、
ベクトルｃ_ｖ方向の、式１を満足するベクトルａとｂの成分の大きさの比を考えると、
三角形の面積の比がわかり、式３の関係が成り立つ。

上図の様に、ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_ｖを考えて、
ベクトルｂ_ｖ方向の、式１を満足するベクトルａとｃの成分の大きさの比を考えると、
三角形の面積の比がわかり、式４の関係が成り立つ。
 
式３と式４を合わせると式５が成り立つ。
この式５は求める式２と同じ式である。
（証明１おわり）

【証明（その２）】
考え方は上の証明と同じですが、
ベクトルａ，ｂ，ｃを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ，ｂ_ｖ，ｃ_ｖを使って、

以下のように三角形の面積を計算して証明することもできます。

式１により、式９のベクトルｂを変換する。

次に、式１により、式１０のベクトルｃを変換する。

式１４と式１７を合わせると式１８が成り立つ。

この式１８は求める式２と同じ式である。
（証明２おわり）

【証明（その３）】
ベクトルＺの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。

この式から、以下の式がなりたつ。

（証明３おわり）


（補足）
　２つのベクトルａとｂの張る三角形の面積を考える問題には以下の特徴があります。
　ベクトルの内積で面積をあらわすためには、どうしてもベクトルａを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂを９０度回転させたベクトルｂ_ｖを考えて、内積
ａ_ｖ ・ｂ＝－ｂ_ｖ ・ａ
の２分の１で三角形の面積をあらわす事が望ましいです。
　ベクトルの内積演算には、三角形の面積をあらわすことが不得意だという弱点があります。
　その弱点を補うために、与えられたベクトルａやｂに加えて、それらを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加して計算に用います。その新たに加えたベクトルを使った内積の計算によって三角形の面積があらわせるのです。
　 そうしないで、すなわち、ベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加しないで、無理やりに三角形の面積を表わそうとすると計算が難しくなります。

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３次関数のグラフの２接点の交点を通る第３の接線の接点

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】

上の式１の３次関数のグラフの点Ａでの接線と点Ｂでの接線の交点をＰとする。交点Ｐを通って式１の曲線に点Ｃで接する第３の接線ＰＣを考える。
点Ｃのｘ座標を、点Ａと点Ｂのｘ座標であらわす式を求めよ。
ただし、点Ｐのｙ座標≠０とする。

  【解答】 
 上図の様に点Ａ，Ｂ，Ｃの座標値を定義する。
各接線の傾きに関して以下の方程式３，４，５が成り立つ。

式６の解が式７になる。
式６を以下の様に変形する。

（解答おわり）

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有理数乗関数のグラフへの接線

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【問】

上の曲線に直線が接する場合の接点Ａのｘ座標と、直線（接線）の傾きｋを求めよ。

  【解答】

上式の様に、接線と曲線の微分係数を求める式３と式４を連立して、式５と式６を得た。
次に、式１と式２を連立して以下の式７を求め、それに式５を代入して計算する。

この式８によって、接点Ａのｘ座標が求められた。次に、この結果を式５に代入して接線の傾きｋを求める。

こうして、式９で、接点Ａでの接線の傾きｋが得られた。
接点Ａのｘ座標の解は、先に得た式８で与えられる。
（解答おわり）

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