6文字を円形に並べるパターンの確率（２）

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【問２】
文字A,B,C,D,E,Fを円形に並べるとき
(2-1)AとBが隣り合う確率
(2-2)AとBが向かい合う確率
を求めよ。

《解答方針》
（円順列の配置パターンの確率は、円卓の席を固定して考える）
(1)円順列の円卓を固定して、その席に文字が配置される順列の数を考えて確率を求める。
(2)円卓の特定の席へ特定の文字を配置したパターンは、全員（全部の文字）を一斉に隣の席へ移動させる回転毎に異なる配置になり、結局円卓の席数倍（この問題では６倍）の数の配置がある。
(3)円卓の特定の席に特定の文字を配置した場合に、他の文字が同様に確からしく配置されるパターンを数えて配置パターンの確率を求める。

【解１】
(2-1の解答)
確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置が２通りある。

下の円卓の図の上端の位置に文字Aを置いた場合に、文字Bが配置される、同様に確からしい配置は以下の図の通り５つある。

問題(2-1)の配置パターンは、これらのうち、①と⑤の２通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=２／５
（(2-1)の解答おわり）

(2-2の解答）
　確率を求めるべきパターンの概要は、以下の図のようなパターンである。文字Aから見た文字Bの位置は１通り。

問題(2-2)の配置パターンは、先の５つの同様に確からしい配置のうち、③の１通りの配置パターンが該当する。
従って、確率=１／５
（(2-2)の解答おわり）

（補足）
　ここで、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわした配置のパターンは、下図のようになる。

すなわち、文字Aと文字Bを区別しないであらわすと、(2-1)と(2-2)の円順列のパターンの数は、ともに１個である。
　(2-1)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンを考察する。
　先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：

上図のように、６通りある。
　そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り１２通りの配置がある。

　一方で、(2-2)の配置の、文字Aの配置位置をあらゆる位置にした場合のパターンは、
　先ず、文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●であらわすと：

上図のように、３通りある。
　そのパターンの文字Aと文字Bを区別すると、以下の図の通り６通りの配置がある。

このように配置パターンの数に違いがあり、(2-1)の確率と(2-2)の確率に違いを生じた。
　文字Aと文字Bを区別しないで黒丸●で表わした(2-1)と(2-2)の２つのパターンは、一見すると対等に見えたが、(2-1)と(2-2)が発生する確率が異なるので、それらの黒丸●であらわした(2-1)のパターンと(2-2)のパターンは同様に確からしく生じるものではなかった。
（補足おわり）

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最後の赤玉を取り出したとき白玉が５個残る確率

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　赤玉5個と白玉10個が入っている袋の中から無作為に1個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。
　5個目の赤玉が取り出されたとき、袋の中に残っている白玉が5個である確率を求めよ。

【解１】
求める確率＝
(９回目までに赤４個と白５個が出る確率)(1/6)
である。

９回目までに赤４個と白５個が出る事象の連鎖には
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
がある。
その場合の確率＝

である。

いろいろな場合を考えると、
白５つと赤４つの順がどうであっても、
その順列の確率=

になる。

一方で、
(赤,赤,赤,赤,白,白,白,白,白)
のあらゆる並び方の数は、

である。

以上の結果を合わせると、
求める確率＝

である。
（解１おわり）

【解２】
　15個全部並べた順列の左から順に取ることにする。
右の6個が、赤、白、白、白、白、白になる順列が作られる確率を求めれば良い。
その確率は、
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
になる順列が作られる確率と同じである。
順列の右から順に、白、白、白、白、白、赤、・・・
となる順列の確率＝

である。
（解２おわり）

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板の裏返しの数の確率

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　6枚のカードがあり、片面は白色が、もう片面には黒色が塗られている。これら6枚のカードを、白の面を表にしてよこ一列に並べておく。一個のさいころを投げ、nの目が出たら、左からn番目のカードをうらがえす。（n=1、2、3、、、6) このことを１回の試行とする。この試行を４回続けて行った後、黒色の面が表になったカードの枚数をxとする。
ｘ=２
となる確率を求めよ。

【解答】 
　先ず、下図のように左から右に樹形図を書いて問題を整理して、１回目の施行から４回目の施行までの確率を順次に網羅的に地道に計算する。

　この樹形図の各枝は、事象の確率の太さを持つ。この樹形図は、枝を束ねた合流点の節を持つ。合流点の節では、その合流点の事象に至る樹形図の枝の確率の和の太さになる。
　上図の樹形図に、分岐した枝の太さ（確率）と合流点の節の太さ（確率）の①から⑪を地道に計算する。
　ここで、合流点の節から分岐する２つの枝の事象の確率は、どこから合流点に至ったかにかかわらず、その合流点の節での黒面の数 ｘ にのみ依存する。
　サイコロの目が合流点の節での黒面のカード番号と同じ番号ならばそのカードが裏返されて白面になり黒面の数ｘが減る。
そう分岐する確率はｘ／６である。
　サイコロの目が合流点の節での白面のカード番号と同じ番号ならばそのカードが裏返されて黒面になり黒面の数ｘが増える。
そう分岐する確率は（６－ｘ）／６である。

　こうして枝の確率を地道に書いていくと、
上図に付記した式①から⑪の式で確率が計算できる。
上図の⑪の式が求めるｘ＝２になる確率であり、
３５／５４
である。
（解答おわり）

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ベクトルAとBに対し９０度と角度θを成すベクトル

このページは、ここをクリックした先の問題の解答をあらわす。

【問題１】
　 x軸の正の向きとのなす角が30°で、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直な単位ベクトルを求めよ。

【解答】
　x軸の正の向きのベクトルをベクトルb=(1,0,0)とする。ベクトルｂはベクトルａに垂直である（ｘ軸はベクトルａに垂直である）。
　先ず、下図に示すように、ベクトルaに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直なベクトルＤを求める。ベクトルａとベクトルｂとベクトルＤとは互いに垂直である。
　
　そして、ベクトルa=(0,1,-1)に垂直で、x軸の正の向きとのなす角が30°のベクトルＨを、上式のように、ベクトルａに垂直なベクトルｂとベクトルDの合成ベクトルで表す。その式のベクトルＨはベクトルｂを含む。また、ベクトルｂはＸ軸の正の方向を向いているので、ベクトルＨとＸ軸の正の方向のベクトル（ベクトルｂ）とのなす角は９０°以下である。

　また、ベクトルｂとベクトルａに垂直なベクトルDは、以下の式のように外積の計算で求める。


　そして、ベクトルｂとベクトルHが角度θ＝３０°を成す以下の方程式を解いてベクトルHの方向を定める。


このベクトルHを単位ベクトルに変換する。

この単位ベクトルが、求める単位ベクトルである。
（解答おわり）

【問題２】
　以下の図のベクトルAに対し９０度の方向を向き、ベクトルBに対し６０度の角度、又はその逆方向（１２０度の角度）を向くベクトルHを求めよ。
（ベクトルHは、ベクトルBに対し６０度の角度を成すものでも、又は、その方向が逆向きの１２０度の角度を成すベクトルでも、どちらの方向でも良いものとする）

【解１】
　下図のように、ベクトルＢを、ベクトルＡに平行するベクトルと、ベクトルＡに垂直なベクトルＣとに分解する。
　また、ベクトルＡとベクトルＢに垂直なベクトルＤを求める。

　求めるべきベクトルＨは、上の式のように、ベクトルCとベクトルDの合成ベクトルで表す。そのベクトルＨは、ベクトルＣを含み、それ以外のベクトルの成分はベクトルＣに垂直な方向を向いているので、ベクトルＨとベクトルＢのなす角は９０°以下である。そのベクトルＨを（－１）倍したベクトル（－Ｈ）は、ベクトルＢとのなす角が９０°以上ある。

　ベクトルCは以下の式で計算する。

　ベクトルDは、以下の式の外積の計算で求める。

　そして、ベクトルBとベクトルHが角度θ＝６０°を成す方程式を解いてベクトルHを定める。


このベクトルH’が、求めるベクトルである。
（解１おわり）

《補足１》
　この種の問題は、ベクトルＢとベクトルＨのなす角度θの設定値によっては、解が無い場合がある。例えば、ベクトルＡとベクトルＢが垂直ではない場合に、ベクトルＢとＨのなす角θの値が極めて０に近い場合は、ベクトルＨがベクトルＡに垂直になることが不可能になる。
（補足１おわり）

【解２】
　ベクトルHに関して、以下の式(1)と式(2)が成り立つ。

θは６０度又は１２０度の角度である。

　解２の解き方は、先ず、ベクトルＡに垂直なベクトルを２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルＨをあらわして、ベクトルＨを求める、という解き方をする。

　そのために、ベクトルAに垂直な、以下の２つのベクトルｍとｎを考える。

（補足２：２つのベクトルｍとｎの別の表し方）
　ベクトルAに垂直な２つのベクトルｍとｎは、以下の様に表すこともできる。

（補足２おわり）

　この２つのベクトルｍとｎは、どちらもベクトルＡに垂直である。そのため、式(1)を満足する、ベクトルAに垂直な全てのベクトルHを、係数ｓとｔを使って以下の式であらわすことができる。

（１）ただし、ベクトルｎが、ベクトルBに対し６０度又は１２０度の角度を成す条件を満足するベクトルであったならば、求めるベクトルHを定める係数 s=0 である。

（２）そうで無ければ、ｓ≠0であり、
以下の式(3)で、未知の係数ｋを使って求めるベクトルHをあらわすことができる。
（ただし、逆方向のベクトルを表すには負の値の係数を掛け算する必要があり、大きさの異なるベクトルを表すにはその大きさの比の係数を掛け算する必要がある。）

以下のように、式3であらわすベクトルHを式2に代入して、ベクトルHを求める。

この式４の両辺を二乗する。

これで未知の係数ｋが求められたので、このｋを式3に代入して求めるベクトルHを計算する。

このベクトルHは、ベクトルAに対し９０度、ベクトルBに対し６０度又は１２０度の角度を成す。
（解２おわり）

《研究》
　解２では、ベクトルAに垂直な２つのベクトル同士は互いに垂直であるというわけではなかった。ここでは、ベクトルＡ方向の軸を持つ直交座標系の、ベクトルＡに垂直な他の軸方向の（互いに垂直な）ベクトルＶとＷ（単位ベクトル）を、（ベクトルの外積計算を利用せずに）求める方法を研究する。


このベクトルＶとＷを合成することで、ベクトルＡに垂直な全てのベクトルを作ることができる。それらの直交ベクトル系を使うと、いろいろな問題が解き易くなる。

《補足３》
　解１と解２は、解がかなり異なる形をしているが、同じ解（正負が逆ではあるが）をあらわしている。解１の方が、解答の見通しが良いので、より良い解答である。

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同じものを含む円順列（黒玉４つ白玉４つ） （黒玉８つ白玉８つ）

この問題はここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　黒玉●４個と白玉〇４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、黒玉●同士を区別せず、白玉〇同士を区別しないものとする。


【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が４＋４＝８つある。
８つの席を固定した場合の、玉●４つと残りの玉〇４つを並べる組み合わせの数は、
_８Ｃ_４＝８×７×６×５／（４×３×２）＝７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。
固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数（周期Ｂ）が掛け算された数になる。

（第１のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）＝周期２のタイプ：

　１／４回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／４回転した位置にもあり、(2/4)回転した位置にもあり、(3/4)回転した位置にあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が十字架状に４個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が十字架状の形にある配置パターンである。
　第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、２個の玉で構成される部分が１周期（周期が２）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。配置パターンが１回転する間に４回同じ配置パターンになる（回転対称数が４である）。
　そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、円順列の全体の１周期の範囲までの部分、すなわち、円順列の全体の１／（回転対称数）＝１／４の部分、の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、_２Ｃ_１個＝２個ある。
　第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／４回転するまでに、0回転、(1/8)回転した場合の２つの異なる配置（周期が２）が作られる。
　この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数_２Ｃ_１）を周期の２で割り算した数になる。その数は：
_２Ｃ_１／２＝１
個ある。

（第２のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）＝周期４のタイプ：

　１／２回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／２回転した位置に存在する配置パターンになり、すなわち、黒玉●が円の直径の両端に２個ある配置パターンになる。
　第２のタイプの配置パターンは、第１のタイプの配置パターンを含む。
　第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の、４個の玉で構成される部分が１周期（周期が４）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。（配置パターンが１回転する間に少なくとも２回、同じパターンになる、回転対称数が２の倍数である）。そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の全体の１／２の部分の、４つの玉の部分の玉の並べ方の数で計算する。その数は：
_４Ｃ_２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置の数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて元の配置パターンに戻る回転対称数が２である配置パターンの、（席が固定された場合の）配置の数が求められる。その数は：
_４Ｃ_２－１×２＝４
個ある。
　この（引き算した結果の）配置のパターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転の４つの異なる配置（周期が４）が作られる。
　この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の４で割り算した数になる。その数は：
４／４＝１
個ある。


（第３のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））＝周期８のタイプ：

　１回転して元の形になる配置パターン（全ての配置パターン）には、第１のタイプと第２のタイプの配置が含まれる。
第３のタイプの配置パターン（全配置パターン）の、席が固定された場合の配置の数は、_８Ｃ_４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプと第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る（席を固定した場合の）配置（第４のタイプ）の数を求める。
（第４のタイプ：１回転して初めて元の形に戻る配置）
　この第４のタイプの配置パターンの数は：
_８Ｃ_４－（１×４）－（１×２）＝６４
個ある。
　この第４のタイプの配置パターンは、（席を固定した場合の）配置を回転させると、１回転すると初めて元の形に戻る。回転させる毎に形が変わる数は、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転、の８個の異なる形（周期が８）になる。
　席を固定しない場合の、この（引き算した結果の）円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の８で割り算した数である。すなわち、
６４／８＝８
個だけある。


（全部の円順列の数）
　以上の合計の、席を固定しない場合の、円順列の配置パターンの数は：
１＋１＋８＝１０
である。
（解答おわり）

《この解答の計算を整理すると以下の式になる》


【問１ｂ】
問１の円順列の、黒玉●４個と白玉〇４個をつないで作るじゅず順列の数はいくつあるか。

【解答】
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関してその円順列の配置を対称な形に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。すなわち、その配置が線対称では無いか、線対称であるかを調べます。

（第１のタイプの配置）

この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。

（第２のタイプの配置）

この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。

（第４のタイプの配置）

この配置パターン（円順列では８つのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになるのが４個あり、配置が線対称なパターンにならないのが４個ある。
配置が線対称なパターンにならないのは以下の４個のパターンがある。
この４個のパターンでは、配置を裏返してできる形が、元の配置を回転することではできない形になります。

円順列では、この形と、これを裏返した形が別の配置として２個と数えられている。
しかし、これらは、じゅず順列では１個と数えられるので、円順列では配置のパターンの数が２倍に数えられている。
そのため、この４つの円順列の数は、じゅず順列では、
４／２＝２個
と数えられる。

結局、じゅず順列の数は、
①配置が線対称なじゅず順列の配置パターンの数＝１＋１＋４＝６，
②配置が線対称でないじゅず順列の配置パターンの数＝４／２＝２，
の合計の、
６＋２＝８
である。
（解答おわり）

【問２】
　黒玉●８個と白玉〇８個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。


【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が８＋８＝１６個ある。
１６個の席を固定した場合の、黒玉●８つと残りの白玉〇８つを並べる組み合わせの数は、
₁₆Ｃ₈＝１３×１１×１０×９＝１２８７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。 固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。

（第１のタイプ：１／８回転すると元の形に戻る配置）


　１／８回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／８回転毎に繰り返して現れ、合計８個の黒玉●から構成される配置パターンがパターンの１つの要素になる。各色の玉毎にこのパターンになる配置パターンが第１のタイプの配置の形である。
　第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の８分の１の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
　そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、その１周期である、円順列の円の１／８の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、_２Ｃ_１個＝２個ある。
　第１のタイプの配置パターンは、席を固定した場合の配置が、0回転、(1/16)回転、した場合に２つの異なる形になる。
　席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数_２Ｃ_１の２分の１になる。その数は：
_２Ｃ_１／２＝１
個ある。

（第２のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）


　１／４回転して元の形に戻る第２の配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／４回転毎に繰り返して現れ、合計４個の黒玉●が十字架状に存在する形が配置パターンの１つの要素になる。黒玉の十字架と白玉の十字架を組み合わせた配置が第２のタイプの配置パターンの形である。
　第２のタイプの配置パターンには、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
　そのため、第２のタイプの配置パターンの、席が固定された場合の配置パターンの数は、円順列の円の４分の１の４個の玉で構成される部分の、４つの玉の並べ方の数で計算でき、_４Ｃ_２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算して、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの配置の数を求めると：
_４Ｃ_２－１×２＝４
個の配置パターンの数がある。これは、席が固定された場合の配置パターンの数である。
　この（引き算した結果の）配置パターンは、配置パターンを回転させると、４分の１回転するまで元にもどらず形が変わる。形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、の場合の４つの異なる形になる。
　そのため、席を固定しない場合の、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は：
４／４＝１
個だけある。

（第３のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）


　１／２回転して同じ形の配置になる第３の配置パターンには、第１のタイプの配置パターンと、第２のタイプの配置パターンとを含む。
　第３のタイプの配置パターンは、配置パターンの１／２回転が配置パターンの形が変わる１周期である。そのため、第３のタイプの配置パターンは、席が固定された場合の配置の数は、円順列の１／２回転の範囲内の右半分の８つの玉の並べ方の数で計算でき、_８Ｃ_４個＝７０個ある。
　この数から、第１のタイプの配置パターンの数と第２のタイプの配置パターンの数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて同じ形に戻る配置パターンの数が求められる。その数は：
_８Ｃ_４－（１×４）－（１×２）＝６４
個の配置の数がある。
　この（引き算した結果の）配置のパターンの、配置を回転させると変わる形の数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、(7/16)回転、の８つある。
　そのため、席を固定しない場合の、１／２回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数６４を、回転で変わる形の数８で割り算した数になり：
６４／８＝８
個だけある。

（第４のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））


　１回転して同じ形の配置になる（全ての配置の）配置パターンには、第１のタイプの配置と、第２のタイプの配置と、第３のタイプの配置とを含む。
席が固定された場合の、全ての配置パターンの数は_１６Ｃ_８個＝１３×１１×１０×９＝１２８７０個ある。
この数から、第１の配置パターンの数と第２の配置パターンの数と第３の配置パターンの数を引き算する。その数は、１回転するまで元の形には戻らない配置パターンの数である。その数は：
_１６Ｃ_８－（８×８）－（１×４）－（１×２）＝１２８００
個ある。
　この（引き算した結果の）配置パターンは、配置を回転させると、１回転するまでは元にもどらない。回転することで配置パターンの形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、・・・(15/16)回転、の１６個ある。
　そのため、席を固定しない場合の配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数１２８００を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１２８００／１６＝８００
個だけある。

（全部の円順列の数）
　以上の、席を固定しない場合の、円順列の配置の数の総和は：
１＋１＋８＋８００＝８１０
である。
（解答おわり）

《この解答の計算を整理すると以下の式になる》


《検算方法》
　問２の解の数が大きいので、答えが合っているのかの検算が悩ましいところである。計算を整理して解き方のパターンの規則性があることが、検算の第１段階になるとも思いますが。問２の解の検算方法は、近似的に、配置パターンの大部分が、１回転して初めて元のパターンに戻る配置パターンである、と仮定して概算して検算する。
　席を固定しない場合の配置の数の概算は、席を固定した場合の全配置パターンの数_１６Ｃ_８を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
_１６Ｃ_８／１６＝１３×１１×１０×９／１６
＝１２８７０／１６
≒ ８００
個程度ある。
（検算おわり）

場合の数と確率
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