三角形の各辺の垂直二等分線が一点で交わる証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　下図の三角形ＡＢＣ（頂点Ｂを原点Ｏとする）の各辺の垂直二等分線が一点で交わることを証明せよ。


【解１：証明開始】
　先ず、三角形ＡＢＣの頂点Ｂを原点Ｏとする。線分ＯＡの中点をＮとし、線分ＯＣの中点をＭとし、線分ＡＣの中点をＤとする。
　そして、辺ＯＡの垂直二等分線と辺ＯＣの垂直二等分線の交点Ｐの位置ベクトルPを計算する。点Ｐは、以下の式(1)であらわす直線ＮＰと、式(2)であらわす直線ＭＰとの交点である。以下の計算により、式(1)と式(2)を連立して、未知数ｍを求めて位置ベクトルＰを求める。

この式で求めた未知数ｍを位置ベクトルPの式２に代入する。

位置ベクトルPが式(5)で得られた。

　次に、辺ＡＣの中点をＤとし、ベクトルＤＰとベクトルＡＣとの内積を計算することで、直線ＤＰが直線ＡＣに直交することを証明する。式(5)で求めた点Ｐの位置ベクトルを使って、以下でその内積を計算する。

ベクトルＤＰとベクトルＡＣとの内積が０になった。
ゆえに、直線ＤＰが直線ＡＣに直交する。すなわち、直線ＤＰは線分ＡＣの垂直二等分線である。
　よって、三角形ＡＢＣの各辺の垂直二等分線が一点Ｐで交わる。
（解１の証明おわり）

【解２：証明開始】
　先ず、三角形ＡＢＣの頂点Ｂを原点Ｏとする。線分ＯＡの中点をＮとし、線分ＯＣの中点をＭとし、線分ＡＣの中点をＤとする。
　そして、辺ＯＡの垂直二等分線と辺ＯＣの垂直二等分線の交点をＰとすると、以下の式(1)と式(2)が成り立つ。

　次に、ベクトルＤＰとベクトルＡＣの内積を計算する。

ベクトルＤＰとベクトルＡＣとの内積が０になった。
ゆえに、直線ＤＰが直線ＡＣに直交する。すなわち、直線ＤＰは線分ＡＣの垂直二等分線である。
　よって、三角形ＡＢＣの各辺の垂直二等分線が一点Ｐで交わる。
（解２の証明おわり）

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