平行線と線分の比の問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】

上図のように、ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＜９０°である平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、∠ＤＡＢの二等分線と辺ＢＣのＣの方へ延長した直線との交点をＥとする。線分ＡＥと対角線ＢＤ，辺ＣＤとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。
ＧＥ＝３のとき、線分ＦＧの長さ ｘ を求めなさい。

（注意）
　この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。 

【解答】
「水平線上の点の高さの比の公式」を以下の様に使います。
　先ず、 線分ＡＥを水平線と考え、各点の水平線からの高さの比の値を、下図のように　(　)　の中に記載する。

すなわち、上図のように、
点Ｄの高さの比＝（６）を図のＤ点に書き込み、
点Ｂの高さの比＝（－１０）を図のＢ点に書き込む。 

線分ＣＤが線分ＢＡに平行であるので線分の点の高さの差が同じである。
線分ＢＡの高さの差がー１０であるので、
線分ＣＤの高さの差も－１０であり、
点Ｃの高さが、
（６－１０）＝（－４）
になる。その高さの比（－４）を図のＣ点に書き込む。

高さの差が（６）である線分ＢＣの長さが６であるので、
高さの差が（４）である線分ＣＥの長さが４になる。
その線分ＣＥの長さ４を図に書き込む。

更に、同様にして、線分ＣＧ、線分ＧＤの長さも書き込む。
更に、線分ＢＦと線分ＦＤの比もわかるので、係数ａを使って、線分ＢＦと線分ＦＤの長さも書き込む。

次に、下図の様に、線分ＡＢを水平線２であると考え、
各点の水平線からの高さの比の値を、　(　)　の中に（単位をｈにして）記載する。

その際に、線分ＢＦと線分ＦＤの長さの比が
ＢＦ：ＦＤ＝１０：６
であることを使って、
点Ｆの水平線２上の高さが上図のように計算できる。

この点Ｆの高さが分数で使いにくいので、次に、下図のように高さの単位を変えて図を書く。

 線分ＦＧの高さの比と線分ＧＥ＝３の高さの比を単位ｓで計算して下図を書く。

線分ＧＥ＝３の長さが３であることと、線分の高さの比を使って以下の方程式を立てて計算して ｘ を求める。

（解答おわり）

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ラングレーの難問

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】（超難問）

上図の四角形ＡＢＣＤにおいて、角ＡＣＤ＝θを求めなさい。

（注意）
　図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
　特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。

【解答】
　この問題は、以下の順に、図形をほぼ対称な形になるように補助線を引いていきます。
（１）先ず、分かっている角度を埋めます。

（２）
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝８０°に注目して、以下の二等辺三角形ＯＡＢを書きます。

（３）
この図形に補助線を引いて、対称な形にし、しかも正三角形を加えます。

（４）
ＡＤ＝ＡＦ
から、三角形ＡＤＦは二等辺三角形だとわかります。

（５）
∠ＡＦＤ＝８０°
なので、
∠ＤＦＧが計算できます。

（６）
三角形ＤＦＧが二等辺三角形だと分かりましたので、
線分ＣＤは線分ＧＦの垂直二等分線だと分かります。

よって、 
∠ＡＣＤ＝θ＝３０°
です。
（解答おわり）

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公式の証明の補助線をまねて使って解く

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【問１】（難問）

上の図において、円Ｏの半径は１２で、直径ＡＢをＢＤ＝４となるように延長した点がＤ、またＡＢ⊥ＣＯである。ＣＤと円Ｏの交点がＥである。
このとき、弦ＥＢの長さを求めなさい。

【解答】
　図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

この問題は、以下の様に、図形をほぼ対称な形に完成させてから解きます。

この図形に引く補助線は、 
「三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）の証明」 
において引いた補助線をまねて引きました。
（公式を覚えるということは、公式の証明で使った補助線を覚えておいて、問題を解くときに、まねして使うということです。それが、「公式を覚えて使う」ということです。） 

次に、下図のように、長さが簡単な相似図形を想像して線分ＣＤの長さを計算します。

次に、図形ＥＢＤとＡＣＤが、頂角が等しく相似であることを認識する。
そして、以下の計算によってＥＢの長さを計算する。

（解答おわり）

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三角形の面積を３辺から計算する

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【問１】

上図の三角形の面積Ｓを求めよ。

【解答】
　先ず、以下の図を考える。

この三角形の頂点Ａの足Ｈと点Ｂの間の距離を、
頂点の足の位置の公式を使って求める。
（解答には、この公式を導き出す過程の式を以下の様に詳しく書くこと。式で使う記号の意味をハッキリさせるために、上の図も書くこと。）

これで頂点Ａの足Ｈの位置が求められた。

長さが簡単な相似図形を想像して高さｈを計算する。
その高さｈと底辺の長さａを掛け算して２で割り算して三角形ＡＢＣの面積Ｓを計算した。
　解答用紙には、上図のように、三角形ＡＢＣのＡＨの長さの値を書き込んだ図を書くか、

あるいは、図の替りに以下の式を書いて解答とすれば良いと思います。

（解答おわり）

【問２】

上図の三角形の面積Ｓを求めよ。

【解答】
　先ず、以下の図を考える。

この三角形の頂点Ａの足Ｈと点Ｂの間の距離を、
頂点の足の位置の公式を使って求める。
（解答には、この公式を導き出す過程の式を以下の様に詳しく書くこと。式で使う記号の意味をハッキリさせるために、上の図も書くこと。）

これで頂点Ａの足Ｈの位置が求められた。

（この計算を、頂点Ｂから辺ＡＣに下ろした足の長さを計算するとその長さの値が分数になり、計算が少し面倒になります。それでも最終的に同じ値の答えが得られますが、
長さの値がより簡単になる辺（ＢＣ）を見つけて、その辺に足を置いた計算をする方が計算が楽になります。
　計算が楽か否かの見分け方は、
（ｂ＋ｃ）／ａ
が簡単な値になるか否かで見分け、
それでも分からない場合は、
（ｃ^２－ｂ^２）／ａ
が簡単な値になるか否か、
で見分けることができます。）

長さが簡単な相似図形を想像して高さｈを計算する。
その高さｈと底辺の長さａを掛け算して２で割り算して三角形ＡＢＣの面積Ｓを計算した。
（解答おわり）

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三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【公式】

上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積：
ＡＨ×ＡＢ
が、
辺ＢＣを直径２ｓとする円の中心Ｏと頂点Ａを結ぶ線と円との交点ＤとＥに関する線分の積：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)^２－ｓ^２
に等しいことを証明しなさい。

（解答の方針） 
　辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
　この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

【解１】
　以下の図のように補助線を引く。
（解答の分かり易さのために最低限度の補助線だけ残したが、解答を考える過程では、もっとたくさんの補助線を引いた）。

∠ＡＨＤ＝９０°－∠ＤＨＣ
円周角の定理により、
∠ＤＨＣ＝∠ＤＥＣ
∠ＤＥＢ＝９０°－∠ＤＥＣ
∴
∠ＡＨＤ＝∠ＤＥＢ
∠ＨＡＤを共通の頂角として持つ△ＡＨＤと△ＡＥＤは、 
これによって２つの頂角が等しい。
よって、
△ＡＨＤ∽△ＡＥＢ
ゆえに：

（証明おわり）

（補足）
　この証明をするためには、以下の図ぐらいに図形を埋めて図形を対称な形に完成させることで、問題の証明に十分な形に図形を完成できる。

（補足２）
　この公式は、
「△ＡＨＤ∽△ＡＥＢ」の公式
である、
と覚えた方が良いと考える。

【解２】
　ベクトルを学ぶと、この公式は以下のように簡単に証明できる。

（証明おわり）

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中線定理の証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【中線の長さの公式（中線定理）】

上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１又は式２が成り立つことを証明しなさい。

 中線定理は、上図の平行四辺形の、
対角線の二乗の和＝２（ｂ^２＋ｃ^２）
という公式だと覚えて下さい。

（補足）
　中線定理は覚え易い定理ですが、高校入試問題で中線定理を使うよう誘導している問題を見ると、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
　その出題高校の意図を推測すると、
「単に中線定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
　そのため、この中線定理を学ぶ目的は、
この中線定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
　そのため、この定理を自力で証明するまで解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

【解答１：中線定理のベクトルでの証明】

（証明おわり）

 この様に、ベクトルの内積を使うと、
簡単に中線定理を証明できます。

【解答２】
　更には、以下の様に、ベクトルｂとｃの計算だけから、証明することもできます。

 （証明おわり）
　中線定理は、上図の平行四辺形の対角線の２乗の和の公式だと考えると覚え易いと思います。

《解答２の拡張》
　以下のように考えると中点定理と、もう１つの、内積の定理も導き出せます。


【解答３】
　先ず、以下の図を考える。

この図の長さｈとｓとｔに関して、以下の式３と式４が成り立つ。

式５が公式の式１である。
（証明おわり）

（補足）
　以下の図を考えても、同じ計算で公式が証明できる。

【解答４】
以下のように補助線を引いて公式を証明することもできる。

 この図の長さｍとｓとｕとｗに関して、以下の式６と式７が成り立つ。

式８が公式の式１である。
（証明おわり）

（補足）
　上の式６から８の計算は、以下の手順で計算する方を覚えた方が、応用の利く計算も覚えられるので、より良い勉強になるのではないかと考えます。

（証明おわり）
　すなわち、上の計算の式を、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って、以下の様に、短縮した形で展開する式を覚えるのが良いです。

（公式の導出おわり）

　公式は覚えられません（時が経つと忘れます）。この公式を使う場合には、毎回、上の式の様に式の展開を短縮した式を書いて公式を導出してから公式を使うようにして欲しい。

　そうすれば、公式を忘れかけている不確かな記憶が導き出した公式よりも、信頼のおける確実な公式を使って問題を解くことができるようになります。

 （三角形の辺の二乗の引き算の公式）
　三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い（導き出し易い）です。
 
　この三角形の辺の二乗の引き算の公式は、かなり多くの問題を解くのに役立つ万能の公式です。種々の問題を解く際に、この公式を使うよう試してみてください。

【解答５】 
　以下の様に、余弦定理を利用して解くこともできます。

三角形ＡＢＣの頂角Ａに関する余弦定理：

三角形ＡＢＤの頂角Ｂに関する余弦定理：

この平行四辺形ＡＢＤCの角度には以下の関係がある。

この式３を式２に代入して以下の式４を得る。

この式４と式１’を足し合わせる。

（証明おわり）
 
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三角形の頂点からの距離の積の公式

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【公式】

上式のように、三角形ＡＢＣの垂心Ｈに関して、頂点Ａからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。

（解答の方針） 
　辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
　この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

【解答】
　先ず、以下の図を考える。

これで、公式の左側の式が証明できた。

同様にして、以下の図で考える。

これで、公式の右側の式が証明できた。
（証明おわり）

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