2017年10月12日木曜日

中線定理の証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1又は式2が成り立つことを証明しなさい。

(補足)
 中線定理は覚え易い定理ですが、高校入試問題で中線定理を使うよう誘導している問題を見ると、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単に中線定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
 そのため、この中線定理を学ぶ目的は、
この中線定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。
 そのため、この定理を自力で証明するまで解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

【解答】
 先ず、以下の図を考える。
この図の長さhとsとtに関して、以下の式3と式4が成り立つ。
式5が公式の式1である。
(証明おわり)

(補足)
 以下の図を考えても、同じ計算で公式が証明できる。

【解答2】
以下のように補助線を引いて公式を証明することもできる。
 この図の長さmとsとuとwに関して、以下の式6と式7が成り立つ。
式8が公式の式1である。
(証明おわり)

(補足)
 上の式6から8の計算は、以下の手順で計算する方を覚えた方が、応用の利く計算も覚えられるので、より良い勉強になるのではないかと考えます。
(証明おわり)

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